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吳 宏
煙臺市福山區人民醫院骨科，山東煙臺 265500
[摘要] 目的 比較采用克氏針張力帶配合骨錨釘與鎖骨鉤鋼板配合喙鎖韌帶在治療肩鎖關節脫位重建的臨床療效。方法 選取該院收治的肩鎖關節脫位患者32例，應用克氏針張力帶配合骨錨釘治療肩鎖關節脫位17例(骨錨釘組)，應用鎖骨鉤鋼板配合喙鎖韌帶重建治療肩鎖關節脫位15例(鎖骨鉤鋼板組)。術后3個月取出鎖骨鉤鋼板和克氏針張力帶，骨錨釘不取出。采用Karlsson標準評定患肩功能。結果 兩組患者均獲得9～45個月以上隨訪，平均27.6個月。術后3個月，兩組內固定物均未發生松動、斷裂。按Karlsson標準評定療效，骨錨釘組：優12例，良4例，可1例，優良率94.1%。鎖骨鉤鋼板組：優10例，良4例，可1例，優良率93.3%。兩組肩關節功能評分差異無統計學意義(P>0.05)。結論 采用克氏針張力帶配合骨錨釘或鎖骨鉤鋼板配合喙鎖韌帶重建治療肩鎖關節脫位療效無明顯差異，都是安全有效的方法。
關鍵詞 肩鎖關節脫位；喙鎖韌帶；內固定器
[中圖分類號] R684.71 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-0742(2014)03(a)-0098-02
[作者簡介] 朱建軍(1973.7-),男,山東煙臺人,碩士,主治醫師,研究方向：骨科。
肩鎖關節脫位是肩部常見損傷，多由外力自肩上部向下沖擊肩峰或跌倒時肩部著地引起。臨床上對肩鎖關節脫位的治療手術方法種類很多，包括克氏針張力帶、鎖骨鉤鋼板固定及交叉克氏針，包括或不包括韌帶的修補重建。隨著生物科技的發展，骨錨釘已成為修復韌帶損傷的常用材料之一。該院自2008年1月—2012月12月采用克氏針張力帶配合骨錨釘與鎖骨鉤鋼板配合喙鎖韌帶重建治療肩鎖關節脫位(Rockwood[1]分級Ⅲ型及以上)患者32例，以比較兩種方法的療效,現報道如下。
1 資料與方法
1.1 一般資料
克氏針張力帶配合骨錨釘組(骨錨釘組)患者17例，其中男12例，女5例，年齡22～65歲，平均39.3歲；Rockwood分型，Ⅲ型10例，Ⅳ型4例，Ⅴ型3例。術中使用的骨錨釘為帶線錨釘，錨釘直徑3.5 mm，長度12 mm，尾線為2#Fiberwire線。
鎖骨鉤鋼板配合喙鎖韌帶重建組(鎖骨鉤鋼板組)患者15例，其中男11例，女4例，年齡25～63歲，平均37.8歲；Rockwood分型，Ⅲ型9例，Ⅳ型4例，Ⅴ型2例。韌帶重建材料為自體闊筋膜肌腱。
所有患者受傷至手術時間1～3 d，平均1.5 d。術前所有患者應拍攝肩關節正位X線片，以確定肩鎖關節脫位損傷的類型及程度，同時術前應完善常規檢查，評估麻醉和手術風險。
1.2 治療方法
全部患者于頸叢或全身麻醉下手術。取沙灘椅，自肩鎖關節至喙突行“L”樣弧形切口，長約 6～8 cm，術中為注意保護鎖骨上神經，應沿鎖骨走行方向橫行切開附著于鎖骨、肩峰端的斜方肌及三角肌，充分使肩鎖關節及喙突顯露。必要時切除肩鎖關節盤狀軟骨。
骨錨釘組：復位肩鎖關節，自肩峰向鎖骨平行鉆入2枚直徑1.5 mm克氏針，鋼絲張力帶固定，可吸收線修復斷裂喙鎖韌帶，在喙突基底部擰入2枚骨錨釘，在距2.5～3.0 cm鎖骨肩峰端處(正好對著喙突上方)，用2.5 mm鉆頭在鎖骨中心位置鉆孔，將每枚骨錨釘的1束尾線穿過骨隧道，另外2束分別置于鎖骨前面及后面，收緊穿過骨孔的尾線前后并打結固定。
鎖骨鉤鋼板組：取自體闊筋膜肌腱，折疊縫合，直徑3.5 mm，長約8.0 cm，對肌腱預張，防止重建韌帶松弛。復位肩鎖關節，根據術中情況選擇適當長度的鎖骨鉤鋼板、塑形，將鋼板鉤端從肩鎖關節后肩峰骨膜下插入，使得鋼板與鎖骨遠端貼服良好，并擰入螺釘固定。在喙突體部、鎖骨(正好對著喙突上方)各作一骨隧道，將肌腱穿過隧道，收緊，肌腱兩端重疊縫合固定。
最后修復肩鎖關節囊及肩鎖韌帶，縫合斜方肌及三角肌。
1.3 術后處理
術中及術后24 h 內使用抗生素。術后三角巾懸吊 4 周，術后第3天肩關節可進行被動功能鍛煉，2 周后可進行主動功能鍛煉，3個月內禁止進行重體力勞動、體育運動。3 個月后可取出內固定物，骨錨釘則不取出。
1.4 療效評價標準
術后患肩功能均采用Karlsson標準評定[2]。
1.5 統計方法
采用spss 16.0統計學軟件對數據進行處理，計數資料采用χ2檢驗。
2 結果
所有患者術后切口均Ⅰ期愈合，無感染。術后隨訪18～45個月，平均27.6個月。鎖骨鉤鋼板組術后2例出現患肩部疼痛，外展活動受限，術后3個月取出內固定物后疼痛消失。按Karlsson標準評定療效，骨錨釘組：優12例，良4例，可1例，優良率94.1%。鎖骨鉤鋼板組：優10例，良4例，可1例，優良率93.3%,見表1。兩組肩關節功能評分差異無統計學意義(P>0.05)。
3 討論
肩鎖關節的穩定由關節囊及其加厚部分形成的三角肌及斜方肌的腱性附著部分、肩鎖韌帶、喙突至鎖骨的喙鎖韌帶3部分維持。其中喙鎖韌帶對維持肩鎖關節的完整性最為重要，只有喙鎖韌帶斷裂，鎖骨遠端才發生垂直移位。Lim[3]研究表明，當韌帶未修復并且斷端存在間隙時，瘢痕愈合的強度僅為正常韌帶的35%。所以，對于肩鎖關節脫位的各種術式中，內固定只是暫時的，韌帶的修復或重建才是保持長期穩定的關鍵。
對于單純行喙鎖韌帶修復配合骨錨釘或者重建手術治療肩鎖關節脫位，遠期效果并不理想。Mlasowsky [4]通過長期隨訪研究發現，術后5年肩鎖關節半脫位率超過35%。這可能是早期沒有在內固定保護下，修復或重建的韌帶在應力下發生松弛、磨損或撕裂；重建的肌腱在骨隧道滑動，影響了肌腱在骨上的愈合。所以肩鎖關節早期的內固定非常重要。
鎖骨鉤鋼板固定牢靠且操作簡單。通過穿過肩峰下的鋼板鉤端和鎖骨遠端的鋼板固定形成杠桿作用，對鎖骨遠端產生穩定的下壓力，致使鎖骨遠端不向上脫位，使肩鎖關節的解剖對應關系達到恢復，提供了穩定無張力的環境于組織愈合中，同時還保留了肩鎖關節的生理微動，提高了關節、韌帶的修復質量。有利于進行早期的功能鍛煉，避免關節僵硬。但是術后也可能出現脫鉤、肩峰骨折、肩痛、鎖骨遠端骨溶解等并發癥。該組術后有2例患者出現患肩疼痛，外展活動受限。可能是由于鋼板鉤部占據了肩峰下一定的空間，對肩峰下軟組織、肩袖(其是岡上肌腱)造成一定的壓迫，磨損所致。Yehia[5]對275例行鎖骨鉤鋼板內固定患者通過肩關節鏡檢查發現，75%的患者1年后岡上肌腱磨損嚴重，鋼板存在時間越長，肌腱磨損越重。其建議對于肩鎖關節內固定盡量不使用鎖骨鉤鋼板，若使用最好不超過8～10周。
骨錨釘絲線的強度和喙鎖韌帶的強度相仿，牢牢地限制了鎖骨遠端上移，可以使斷裂的喙鎖韌帶得到堅強修復。同時進行克氏針張力帶短暫固定，更有利于喙鎖韌帶在穩定的環境下愈合。術后3個月取出克氏針張力帶，防止了克氏針松動、斷裂等并發癥，減少了創傷性關節炎的發生。該組術后無一例患者出現患肩疼痛。
對于內固定物取出的時間仍存在爭議[6-7]。由于肌腱愈合達到正常強度需要12周，該研究認為應以術后3個月取出內固定物為宜。
該研究表明，兩組術后肩關節功能優良率比較差異無統計學意義(P>0.05)。這可能與該研究樣本量少，隨訪時間短有一定關系。
因此，對于肩鎖關節脫位患者，在修復重建喙鎖韌帶的同時，應同時進行短暫的關節內固定，采用克氏針張力帶配合骨錨釘或鎖骨鉤鋼板配合喙鎖韌帶重建治療肩鎖關節脫位，都為安全有效的方法。
參考文獻
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勾股定理在幾何學中有著重要的地位，因此證明勾股定理在我們學習幾何數學中非常重要。千百年來有許多數學家對勾股定理進行證明，證明方法多種多樣。對勾股定理的證明在1940年出版的《畢達哥拉斯命題》中就收集到了367種之多，但是這還不是全部的證明方法，根據不完全統計到目前為止證明勾股定理的方法已經達到了500多種。當然各種證明方法都有自己獨特的優點，有的豐富有的簡潔。在西方國家勾股定理還被人們稱為畢達哥拉斯定理，這是因為畢達哥拉斯是最先發現直角三角形的勾股定理并且給出了嚴格的證明。
關鍵詞：勾股定理
勾股定理在我國也稱“商高定理”，因為在中國商高是最早發現和利用勾股定理的人，商高曾經說過：“故折矩，勾廣三，股修四，經隅五”。這就是人們后面說的“勾三股四弦五”。勾股定理的應用十分廣泛，到目前為止對勾股定理的證明方法非常多，美國總統伽菲爾德證明勾股定理在歷史上也是很有名的。勾股定理的證明體現了數型結合得思想，這體現了在學習數學得過程中我們必須要重視思維方式的培養，以及對各種思維方式的應用，達到舉一反三的效果。在學習勾股定理的過程中我們要領會數學思維的規律和方法，提高數學思維的靈活性。利用勾股定理解題的時候，常常要把有關的已知量和未知量通過圖形結合起來解決問題，也就是說我們必須要數型結合才能更好的解決勾股定理的問題。在研究問題的時候把數和形結合起來考慮，并且把圖形的性質轉化為數量關系，可以使得復雜的問題簡單話，抽象問題具體化，所以數型結合是一個重要的數學思想。
在早期的人類活動中，其實人們就認識到了勾股定理的一些特征，傳說在公元前1000多年前我國就發現了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”來確定直角。但是有數學家對此也表示懷疑，例如美國的M?克萊因教授就曾經說過：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人，但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實。”不過在大約2000多年前的古巴比倫的泥版書上，經過考古專家的考證，在其中一塊泥版書上記錄著這樣的問題：“一根長度為30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？”很明顯這是一個勾股定理的例子。還有一塊泥版上刻著一些奇特的數表，在表中一共有四列十五行數字，不難看出這是一組勾股數，從右邊到左邊一共有15組勾股數，從這里可以看出勾股定理實際很早就被人們所認識。
對勾股定理進行分類討論可以對有可能出現的問題考慮得比較的完整，在解決問題的時候做到“不漏不重”。
證明勾股定理的方法很多，一一例舉是不可能的，本論文只簡單的討論了幾種簡單易懂的證明方法。那么，接下來我們來看一下證明勾股定理的這幾種方法。
1.通俗易懂的課本證明
2.經典的梅文鼎證法
例2：做四個全等的直角三角形，兩條直角邊邊長分別是a、b，斜邊為c。把這些三角形拼成如下圖所示的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上，過C作AC的延長線交DF于點P。
8.總結
勾股定理作為中學數學的基本定理之一，是我們學習數學的必修課程。本文討論了勾股定理的一些證明方法，簡單的闡述了勾股定理的背景，這可以讓我們對勾股定理能夠由更深的了解。本文證明勾股定理的這幾種方法都是比較簡單和常見的，但是也是從不同的方面進行的驗證，這會帶領大家更加深入的了解勾股定理的證明，啟發學生對學習的思考，養成多方面看待問題的思維習慣。通過本文主要是想讓學生能夠學好勾股定理，能夠運用勾股定理解決實際問題。學好勾股定理對我們今后的學習和研究由很大的幫助，所以我們學者對勾股定理的研究就顯得很有必要，也具有相當大的價值。
參考文獻
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[3]王凱.勾股定理玉中國古代數學[J].邵陽學院學報.2005.
[4]張俊忠.史話勾股定理[J].中學生數理化.2002.
關鍵詞：勾股定理 應用 證明 代數
勾股定理指出：直角三角形兩直角邊（即“勾”“股”短的為勾，長的為股）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a的平方+b的平方=c的平方a2＋b2＝c2
1、數學史上的勾股定理
1．1勾股定理的來源
勾股定理又叫畢氏定理：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。
1．2最早的勾股定理應用
中國最早的一部數學著作――《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢？”商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體餓認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊“勾”等于3，另一條直角邊“股”等于4的時候，那么它的斜邊“弦”就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。”從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理這一重要懂得數學原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方和。
1．3在代數研究上取得的成就
例如從勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率。據說4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。公元1世紀，我國數學著作《九章算術》中記載了一種求整勾股數組的法則，用代數方法很容易證明這一結論。由此可見，你是否想到過，我們的祖先發現勾股定理，不是一蹴而就，而是經歷了漫長的歲月，走過了一個由特殊到一般的過程。
2、勾股定理的一些運用
2．1在數學中的運用
勾股定理是極為重要的定理，其應用十分廣泛.同學們在運用這個定理解題時，常出現這樣或那樣的錯誤。為幫助同學們掌握好勾股定理，現將平時容易出現的錯誤加以歸類剖析，供參考。
2．1．1錯在思維定勢
例1一個直角三角形的兩條邊長分別是5和12，求第三條邊的長。
錯解：設第三條邊的長為a，則由勾股定理，得a=52+122，即a=13，亦即第三條邊的長是13。
剖析：由于受勾股定理數組5、12、13的影響，看到題設數據，一些同學便斷定第三條邊是斜邊.實際上，題目并沒有說明第三邊是斜邊還是直角邊，故需分類求解。
正解：設第三條邊的長為，（1）若第三邊是斜邊，同上可求得=13；（2）若第三邊是直角邊，則12必為斜邊，由勾股定理，故第三條邊的長是13或12.
2．2勾股定理在生活中的用
工程技術人員用的比較多，比如農村房屋的屋頂構造，就可以用勾股定理來計算，設計工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關的數據時，多數可以用勾股定理物理上也有廣泛應用，例如求幾個力，或者物體的合速度，運動方向…古代也是大多應用于工程，例如修建房屋、修井、造車等等
農村蓋房，木匠在方地基時就利用了勾股定理。木匠先是量出一個對邊相等的四邊形，這樣就保證這個四邊形是平行四邊形，為了再使它是矩形，木匠就在臨邊上分別量出30公分、40公分的兩段線段，然后再調整的另外兩個斷點間的距離使他們的距離成50公分即可。在這個過程中，木匠實際上即用到了平行四邊形的判定、矩形的判定，又用到了勾股定理。
2．3宇宙探索
幾十年前，有些科學家從天文望遠鏡中看到火星上有些地區的顏色有些季節性的變化，又看到火星上有運河模樣的線條，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。當時還沒有宇宙飛船，怎樣和這些智慧生物取得聯系呢？有人就想到，中國、希臘、埃及處在地球的不同地區，但是他們都很早并且獨立的發現了勾股定理。科學家們由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的話，他們也許最早知道勾股定理。火星是否有高度智慧生物？現在已被基本否定，可是人類并沒有打消與地球以外生物取得聯系的努力，怎樣跟他們聯系呢？用文字和語言他們都不一定能懂。因此，我國已故著名數學家華羅庚曾建議：讓宇宙飛船帶著幾個數學圖形飛到宇宙空間，其中一個就是邊長為3：4：5的直角三角形。兩千年前發現的勾股定理，現在在探索宇宙奧秘的過程中仍然可以發揮作用。
看來，勾股定理不僅僅是數學問題，不僅僅是反映直角三角形三邊關系，她已成為人類文明的象征，她已成為人類智慧的標志！她是人們文化素養中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是現代文明人！
3、對勾股定理的一些建議
3．1掌握勾股定理，利用拼圖法驗證勾股定理；
經歷用拼圖的方法驗證勾股定理，培養學生的創新能力和解決實際問題的能力。拼圖的過導學生自主探索，合作交流。這種教學理念反映了時代精神，有利于提高學生的思維能力，有效地激發學生的思維積極性。鼓勵學生大膽聯想，培養學生數形結合的意識。
3．2發展合情推理的能力，體會數形結合的思想；
了解勾股定理的文化背景．思考在勾股定理的探索過程中，發展合情推理能力，體會數形結合的思想．教師在進行數學教學活動時，如果只以教材的內容為素材對學生的合情推理能力進行培養，毫無疑問，這樣的教學活動能促進學生的合情推理能力的發展，但是，除院校的教育教學活動（以教材內容為素材)以外，還有很多活動也能有效地發展學生的合情推理能力，例如，人們日常生活中經常需要作出判斷和推理，許多游戲很多中也隱含著推理的要求，所以，要進一步拓寬發展學生合情推理能力的渠道，使學生感受到生活、活動中有“數學”，有“合情推理”，養成善于觀察、猜測、分析、歸納推理的好習慣。
在探究活動中，學會與人合作并能與他人交流思維的過程和探究體會數形結合思想，激發探索熱情。回顧、反思、交流．布置課后作業，鞏固、發展提高。
3．3能運用勾股定理及其逆定理解決實際問題，提高數學應用能力；
勾股定理及其逆定理是中學數學中幾個重要的定理之一，在一個三角形中，兩條邊的平方和等于另一條邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，這就是勾股定理的逆定理。所謂逆定理，就是通過定理的結論來推出條件，也就是如果三角形的三邊滿足a2+b2=c2那么它一定是直角三角形.這個定理很重要，常常用來判斷三角形的形狀.它體現了由“形”到“數”和由“數”到“形”的數形結合思想.勾股定理在解決三角形的計算、證明和解決實際問題中得到廣泛應用，勾股定理的逆定理常與三角形的內角和、三角形的面積等知識綜合在一起進行考查.對于初學勾股定理及其逆定理的學生來說，由于知識、方法不熟練，常常出現一些不必要的錯誤，失分率較高.下面針對具體失誤的原因，配合相關習題進行分析、說明其易錯點，希望幫助同學們避免錯誤，走出誤區。
4、小結
總體來說，勾股定理的應用非常廣泛，了解勾股定理，掌握勾股定理的內容，初步學會用它進行有關的計算、作圖和證明。應用主要包括：
1、勾股定理在幾何計算和證明的應用：（1）已知直角三角形任兩邊求第三邊。（2）利用勾股定理作圖。（3）利用勾股定理證明。（4）供選用例題。
2、在代數中的應用：勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率和宇宙探索。
3、勾股定理在生活中的應用：工程技術人員用的比較多，比如農村房屋的屋頂構造，就可以用勾股定理來計算，設計工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關的數據時，多數可以用勾股定理 物理上也有廣泛應用，例如求幾個力，或者物體的合速度，運動方向…古代也是大多應用于工程，例如修建房屋、修井、造車、農村蓋房，木匠在方地基時就利用了勾股定理。勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角為90°）轉化為數量關系，即三邊滿足a2+b2=c2.。利用勾股定理進行有關計算和證明時，要注意利用方程的思想求直角三角形有關線段長；利用添加輔助線的方法構造直角三角形使用勾股定理。
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關鍵詞：勾股定理；多邊形；面積關系
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0146
勾股定理是初中數學中的一個重要定理，2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，但在眾多的證明中，主要是以面積的變化進行證明。筆者通過勾股定理的證明發現了“以直角三角形的各邊為邊長做邊數相同的正多邊形之間的面積關系”。
一、勾股定理的證明
1. 將4個全等的非等腰直角三角形拼成一個大的正方形。
由圖可知：（a+b）2-■ab?4=c2
a2+2ab+b2-2ab=c2
即：a2+b2=c2
也就是說：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即勾股定理。
2. 如圖將4個全等的直角三角形拼成一個大正方形
由圖可知：c2-■ab?4=（a-b）2
c2-2ab=a2-2ab+b2
即：a2+b2=c2
這樣又得到了勾股定理的另一種證明方法。
3. 如圖將兩個全等的直角三角形拼成如圖的梯形
由圖可知：■（a+b）2-■ab?2=■c2
■a2+ab+■b2-ab=■c2
即：a2+b2=c2
以上是勾股定理的3種證明方法，實際上勾股定理的證明到目前已有3000多種。
二、勾股定理的應用
下面我們利用勾股定理說明以三角形的三邊長圍成的正多邊形的面積之間的關系。
1. 如圖，在RtABC中，∠C=90°中，AB=c，AC=b，BC=a，分別以a，b，c三邊為邊做正三角形，求證S2+S3=S1。
如圖做三角形S2的高h，因為S2是以b為邊的等邊三角形，易得
h=■b，S2=■?b?■b=■b2
同理：S3=■a2，S1=■c2；S2+S3=■（a2+b2），根據勾股定理a2+b2=c2得S2+S3=■c2=S1
即：S2+S3=S1
2. 如圖，在RtABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分別以a，b，c三邊為邊做正四邊形，求證S2+S3=S1。
證明：S2=b2，S3=a2，S1=c2
根據勾股定理：a2+b2=c2
S2+S3=S1
3. 如圖以直角三角形的三邊為邊長做正五邊形，
求證： S2+S3=S1。
證明：如圖連接正五邊形的中心O與一邊端點的連線構成一個等腰三角形，并做出等腰三角形底邊上的高h，
cotα=■，h=■cotα，
S1=■c?■cotα?5=■c2?cotα，
同理：S2=■b2?cotα，S3=■a2?cotα，
S2+S3=■b2?cotα+■a2?cotα=■cotα（b2+a2）
由勾股定理得：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα?c2=S1
即： S2+S3=S1
依次類推：以直角三角形的三邊為邊長做正n邊形時，S2=■b2?cotα，S3=■a2?cotα，S1=■c2?cotα，根據勾股定理：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα?c2=S1
即：S2+S3=S1
通過上面的證明我們可以得到“以任意直角三角形的三邊為邊長做邊數相等的正多邊形，以斜邊邊長為邊的正多邊形的面積等于以直角邊邊長為邊的兩正多邊形的面積之和。”
同樣我們還能得到以“任意直角三角形的三邊為直徑做半圓（或圓），以斜邊邊長為直徑的半圓（或圓）的面積等于以直角邊為直徑的兩個半圓（或圓）的面積之和”。
下面我們來看證明：
已知：如圖，直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，分別以a，（上接第146頁）b，c為直徑做半圓。
求證：S2+S3=S1
證明：S1=■π（■）2=■c2，S2=■π（■）2=■b2，S3=■π（■）2=■a2
S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2），由勾股定理a2+b2=c2得：S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2）=■c2=S1，
即：S2+S3=S1
二、探索性學習不可或缺的題材
數學新課程理念下的數學學習將大量采用操作實驗、自主探索、大膽猜測、合作交流、積極思考等活動方式。而勾股定理是
三、通過勾股定理的欣賞與應用，接受文化的洗禮與熏陶，體會數學獨特的魅力
勾股定理是一條古老的數學定理，不論哪個國家、民族，只要是具有自發的(不是外來的)古老文化，他們都會說：我們首先認識的數學定理就是勾股定理。在西方文獻中，勾股定理一直以古希臘哲學家畢達哥拉斯(Pythagoras，約前580－約前500)的名字來命名，稱為畢達哥拉斯定理。更有趣的是我國著名數學家華羅庚教授在《數學的用場和發展》一文中談到了想象中的首次宇宙“語言”時，就提出把“數形關系”(勾股定理)帶到其它星球，作為地球人與其它星球上的“人”進行第一次“談話”的語言。可以說勾股定理是傳承人類文明的使者，是人類智慧的結晶，是古代文化的精華。因此，世界各國都非常重視勾股定理的社會文化價值，許多國家還發行了諸多勾股定理的相關郵票。
[關鍵詞] 過程教學；初中數學；勾股定理
過程教學法最開始的發展是針對寫作過程，過程教學法認為寫作的過程是一種群體間的交際活動，而不是作者的單獨行動，因此過程教學法通過充分培養學生的思維能力來提高學生的寫作能力，從而將教學重點放在學生的寫作過程上. 在新課標對教學改革工作的不斷需求下，我們將過程教學引入到數學教學過程中是非常可行的. 過程教學法更加尊重被教育者的知識結構和認知水平，切合教學目的和任務，創造合適的問題場景，通過教學過程分析和解決問題，從而達到最終的教學目的，這是過程教學法的核心思想.
過程教學的內涵
過程教學法的核心在于教學過程，無論是教師的授課過程，還是學生的學習過程，過程教學都要求學生能在過程中思考，并在思考的過程中加深對所學知識的理解. 過程教學法具體表現在以下幾方面.
（1）充分認識教學過程中“知識”的生成過程. 什么是知識生成過程，拿我們要說的勾股定理來說，勾股定理的應用能夠追溯到公元前約3000年的古巴比倫，并且他們已經知道了很多勾股數組（3，4，5即為一個勾股數組）. 在中國公元前十一世紀的時候，周朝就有了“勾三股四弦五”的記載，勾股定理的發展歷史只是勾股定理知識產生過程中的其中一環. 對于過程教學，我們更加要理解知識的發生以及應用發展的整個過程――從定理的猜想到假設，再到定理的證明等階段，深刻認識到數學知識生成的邏輯順序.
（2）教學過程更加是思維發展的過程，即在教學過程中不斷發展和完善學生的思維能力，因此，過程教學也要再現人類研究問題的特征，即知識從失敗到成功的過程. 教學過程更加要結合學生思維的特點，引導學生主動地思考. 學生走入誤區不是壞事，這是人類思考問題的共性，符合人類思維過程的特點. 過程教學不是一種怎樣的教學手段，更為體貼的描述應該圍繞教學目標，讓學生思考整個過程的指導，忽視結果，重視過程，重視對知識的探索過程.
定理教學的特點
就數學教學過程中的定理教學而言，難的不是在于定理的證明過程，而是在沒有定理出現的時候，面對問題的發生和解決，人類是怎樣思考并找出這個定理的，因此對于定理教學，就更加需要過程教學的輔助，結合過程教學的主要思想，讓學生清晰地認識定理的發現、探索，以及最后獲取的過程，培養學生自主思考的能力. 通過過程教學開展定理教學的主要方式有：
（1）數學定理的導入環節當作過程教學的開始，其主要目的在于解釋知識背景，這個過程中需要教師拿出具體的生活案例激發學生探究和學習新知識的渴望. 例如，現在有一個直角三角形，我們知道了兩條直角邊的長度，根據三角形的特點，第三條邊能否通過計算得出來？下面我們開始教學活動.
（2）定理的重構環節是教學難點. 由于大家對這個定理已經非常熟悉，當然這都是很多科學家總結出來的，重構勾股定理發展的過程實際上具備一定的難度，這就需要教師根據學生現有的知識結構，模擬并且重構勾股定理的發展過程，并且在過程中學生主動思考和探索.
（3）定理的運用環節. 運用也是過程教學中不可缺少的重要環節，能檢驗學生對定理的掌握程度. 過程教學雖然更加注重過程，但如果學生不能學到知識，不能運用新知識去解決問題，那么整個教學過程就是失敗的. 定理運用的環節能夠強化學生對勾股定理的理解.
過程教學視域下的教學案例
通過上文我們知道了過程教學在定理教學中的運用方式和注意事項，那么，如何根據實際開展勾股定理的教學工作呢？具體的教學過程安排如下：
1. 定理的導入環節
其中一種方式是從數學史的角度，即我們可以通過展示中國郵政的一枚標有中國古代證明勾股定理的趙爽圖來開展定理的導入環節；也可以這樣進入引入環節：拿一根長1.2米的白繩子，通過測量30，40，50厘米長的繩子組成一個三角形，讓部分同學在黑板上測量角度.
2. 定理的重建過程
我們都知道，勾股定理的具體內容是在直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，具體的表述為：
c2=a2+b2 （a，b分別為直角邊，c為斜邊）
定理針對所有的直角三角形，那么這個定理的建立過程一定是從特殊到普遍，因此在勾股定理的重構過程中，我們可以通過演示特殊的直角三角形開始展開勾股定理的重建.
例如，在一個格點圖形中（如圖1），每個小方格都是均等的，而且假設小方格的邊長都是1，即面積也是1，于是可任意找一個定點都在格點的直角三角形，然后分別以這個三角形的每一條邊作正方形，然后計算斜邊作為邊長的正方形的面積.
通過割補等不同的方法，能讓學生自己探索正方形Ⅲ的面積. 既然在單位是1的格點圖形中，直角邊和斜邊滿足一定的數量關系，那么是不是其他比例下也同樣滿足呢？如果單位是1.1呢？具體的實現過程是不是也滿足呢？可根據等式兩邊同時乘1.1，等式依然成立，來引出定理的一般性.
或者，我們可以通過在課堂上演示加菲爾德證法的實現過程來完成定理的重構. 比較有趣的是，加菲爾德在證明這個結論以后的幾年，成為美國總統，因此又叫總統定理，這樣的趣味性也能夠增強過程教學中學生的注意力. 加菲爾德證法也是通過面積求和的思想實現的，如圖2所示.
教師一定要積極引導，但不能直接提醒面積求和的思想，應讓學生在對定理的探索過程中，主動發現和思考，教師還應創造一定的情景，引出面積總和的思想. 總之，學生對定理的探索過程非常重要，能加深其對勾股定理的理解，而且對于以后勾股定理的實際運用有非常大的幫助.
3. 定理的運用過程
通過我們對于定理的導入和重構過程，學生對于勾股定理已經有了一定的了解，因此，在課堂上，對于定理的運用過程，一定要難易結合，循序漸進. 例如，可首先用一道比較簡單的習題考查學生對定理的基本掌握情況：在RtABC中，∠C=90°，其中AC=5，AB=13，求BC的長. 然后，我們可以適當增加題目的難度，難題的解決能夠提高學生在學習過程中的成就感，有助于過程教學質量的提高. 如下題：如圖3所示，EF是正方形ABCD的中線，將∠A沿DK折疊，讓點A與EF上的點G重合，求∠DKG的大小.
這樣的題目稍難一點，是勾股定理運用中需要一定思考量的題目，這類題目往往與別的知識相關聯，是多知識綜合運用的題目. 多場景、多知識的運用能夠提高學生對知識的綜合應用能力.
關于提高過程教學視域下“勾
股定理”的教學質量問題
1. 勾股定理的導入過程
勾股定理的導入過程一定要具備吸引力，除了上述描述的創造問題場景和勾股定理發展史，還有很多的方法，但導入的過程一定要把握勾股定理的內涵，創造學生現有的知識結構對勾股定理進行認識，從而激發學生的學習興趣，為接下來的過程教學提高良好的鋪墊.
2. 關于勾股定理的重構過程
勾股定理的重構過程必須把握如下幾點：（1）讓學生能夠在一定程度上了解知識的產生、發展以及運用過程，在這個過程中，讓學生認識定理是從特殊到一般的發展規律；（2）把握學生的思維特點，讓學生經歷觀察、實驗、猜測等清晰的邏輯思維過程；（3）允許學生發出疑問，并且鼓勵學生發言，例如，當兩條直角邊的平方和大于第三邊時，會發生什么，及時地發現學生的思維亮點，提高學習過程中的互動性；（4）考慮學生的認知水平，切合實際，在豐富的數學教學經驗下，預估學生對于勾股定理的理解能力，結合數學教學特點，培養數學邏輯能力. 勾股定理的重構過程是勾股定理教學的重點，也是難點.
3. 關于勾股定理的運用過程
勾股定理的運用過程其實也需要過程教學思想的指導，可通過得知直角以后求邊長的數值，也可以運用現有的工具獲取一個直角，多角度地運用勾股定理進一步鞏固學生對勾股定理的理解. 在勾股定理的運用階段，我們也可以適當引入一部分關于勾股定理的奧數題目，這類題一般都具有一定的難度，同時也具有一定的趣味性，而且相對來說，對勾股定理的運用更加透徹，需要大量的創新思維，這不僅能讓學生主動思考，還能借此強化學生的團隊合作精神.
【關鍵詞】 數學活動；動手操作；合作交流；數形結合
教材簡介：
本課教材選自蘇科版《數學綜合與實踐活動（八上）》初中數學教材中勾股定理與平方根一節。
教材分析：
勾股定理是初中數學教學中一個非常重要的定理，之前學生們運用方格紙，通過計算面積的方法探索了勾股定理。本課不只要求學生掌握驗證方法，更重要的是通過豐富有趣的拼圖活動，通過教師的指導、同伴的合作和學生親自動手剪紙、拼圖、驗證等一系列數學活動，體會數形結合的思想，體會勾股定理的數學價值和文化價值。
教學目標：
1.經歷綜合運用已有知識解決問題的過程，在此過程中加深對勾股定理、整式運算、面積等的認識。
2.經歷不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值。
3.通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷，增進數學學習的信心。通過豐富有趣的拼圖活動增強學生對數學學習的興趣。
教學重點難點：
重點：通過拼圖驗證勾股定理及勾股定理的應用過程，使學生獲得一些研究問題與合作交流的方法經驗。
難點：利用數形結合的方法驗證勾股定理。
教學方法：
引導、操作、合作、探究，多媒體輔助教學
教學過程：
本節課主要是通過幾個活動讓學生體驗并探究勾股定理的一些驗證方法，首先通過情景創設激發學生探究的激情。
情境創設：
1.你知道勾股定理的內容嗎？說說看。
畫直角三角形并寫出勾股定理的表達式。
2.你知道關于勾股定理的哪些歷史故事？你知道勾股定理的來歷和有多少種證法嗎？
課件展示畢達哥拉斯的雕像圖片和地磚圖片，講述畢達哥拉斯發現勾股定理的故事。
3.前面我們運用方格紙，通過計算面積的方法探索了勾股定
理。今天我們再來探究勾股定理的其他驗證方法。
活動一：
活動準備：用硬紙板各剪4個完全相同的直角三角形（不妨設兩直角邊分別為a、b，且a≤b，斜邊為c），再剪2個邊長分別為c和（b-a）的正方形。
活動要求：你能選用這些中的部分圖形拼成一個大正方形嗎？
你能用拼成的圖形驗證勾股定理嗎？
學生小組合作交流探究并展示。（了解學生拼圖的情況及利用自己的拼圖驗證勾股定理的情況。教師在巡視過程中，相機指導，并讓學生展示自己的拼圖及讓學生講解驗證勾股定理的方法，并根據不同學生的不同狀況給予適當的引導，引導學生整理結論。）
通過對弦圖的分析，得到面積的關系
c2=（b－a）2＋4ab 化簡得：a2+b2=c2
課件介紹三國時期東吳人趙爽的“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，并出示趙爽弦圖和世界數學家大會會標。
活動二：
四個直角三角形還可以怎么擺成正方形呢？
學生先獨立探究，再小組活動交流，并上黑板展示拼圖方法和驗證：由面積關系得到：（a+b）2＝c2＋4× ab，化簡得：a2+b2=c2。
活動三：
你能用兩個直角邊分別為a、b，且a≤b，斜邊為c的直角三角形和一個直角邊為c的等腰直角三角形拼圖并驗證勾股定理嗎？
如圖：兩個全等的直角三角形ABC和BEF的三邊長分別為a、
b、c可得面積關系 （a+b）2＝ c2＋2× ab
化簡得：a2+b2=c2
課件介紹：“總統證法”――美國第二十任總統伽菲爾德。
活動總結交流：活動二和活動三的證法其實完全相同。
課件展示與欣賞畢達哥拉斯證法和印度婆什迦羅的證明，并讓學生展示課前查找資料了解到的證明方法。
活動四：制作五巧板驗證勾股定理。
步驟：
1.做一個RtABC，以斜邊AB為邊向內做正方形ABDE，并在正方形內畫圖，使DFBI，CG=BC，HGAC，這樣就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿這些線剪開，就得了一幅五巧板。
2.取兩幅五巧板，將其中的一幅拼成一個以C為邊長的正方
形，將另外一幅五巧板拼成兩個邊長分別為a、b的正方形，你能拼出來嗎？（給學生充分的時間進行拼圖、思考、交流經驗，對于有困難的學生教師要給予適當引導。）
歸納小結，形成技能。今天這節課你有何收獲？
（如驗證勾股定理的方法、數形結合的數學思想、我國古代科學家的成就、合作交流的方法與經驗………）
課后作業：
上網查找有關利用拼圖來驗證勾股定理證明的方法，每人至少能說出一種與本課提到的不一樣的方法，若有好的方法可用小論文的形式寫出來。
教學反思：
本課的教學設計中，讓學生通過制作拼圖，通過動手操作，合作交流，發現問題，讓學習內容問題化，讓教材成為學生核心學習活動鮮活的材料。
【關鍵詞】數學史；勾股定理歷史；融入；教學策略
1.勾股定理歷史融入教學的意義
1.1 有利于激發興趣，培養探索精神
勾股定理的證明是一個難點.在數學教學中適時引入數學史中引人入勝和富有啟發意義的歷史話題或趣聞軼事，消除學生對數學的恐懼感，可使學生明白數學并不是一門枯燥無味的學科，而是一門不斷發展的生動有趣的學科，從而激發起學生學習數學的興趣.
1.2 有利于培養人文精神，加強歷史熏陶
學習數學史可以對學生進行愛國主義教育.浙教版新教材對我國勾股定理數學史提得很少，其實中國古代數學家對于勾股定理發現和證明在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，尤其是其中體現出來的數形結合思想更具有重大意義。
2.勾股定理歷史融入教學的策略
在勾股定理教學的過程中，要求我們在教學活動中，注意結合教學實際和學生的經驗，依據一定的目的，對勾股定理歷史資源進行有效的選擇、組合、改造與創造性的加工，使學生容易接受、樂于接受，并能從中得到啟發.在實踐過程中，發現以下幾種途徑與方法是頗為適宜的.
2.1在情景創設中融入勾股定理歷史
建構主義的學習理論強調情景創設要盡可能的真實，數學史總歸是真實的.情景創設可以充分考慮數學知識產生的背景和發展歷史，以數學史作為素材創設問題情景，不僅有助于數學知識的學習，也是對學生的一種文化熏陶.
案例1：
師：同學們知道勾股定理嗎？
生：勾股定理？地球人都知道！（眾笑）
師：要我說，如果有外星人，也許外星人也知道.大家知道世界上許多科學家都在探尋其他星球上的生命，為此向宇宙發射了許多信號：如語言、聲音、各種圖形等.我國數學家華羅庚曾經建議向宇宙發射勾股定理的圖形，并說：如果宇宙人是文明人，他們一定會認識這種“語言”的.（投影顯示勾股圖）
可以說，禹是世界上有文字記載的第一位與勾股定理有關的人.中國古代數學著作《周髀算經》中記載有商高這樣的話：……我們做成一個直角三角形，這形亦稱曰[勾股形].它的距邊名叫[勾]，長度為三；另一邊名叫[股]，長度為四；斜邊名叫[弦]，長度為五.勾股弦三邊，若各自乘，我們就可由其中任何兩邊以求出第三邊的長……
《周髀算經》卷上還記載西周開國時期周公與商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三，股修四，經偶五”，這是勾股定理的特例.卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并兒開方除之，得邪至日.”
由此看來，《周髀算經》中已經利用了勾股定理來量地測天.勾股定理又叫做“商高定理”.畢達哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數學家，他是公元前五世紀的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數學家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發現的，所以他就把這個定理稱為"畢達哥拉斯定理"，以后就流傳開了.
2.2在定理證明中融入勾股定理歷史
數學史不僅給出了確定的知識，還可以給出知識的創造過程，對這種過程的再現，不僅能使學生體會到數學家的思維過程，還可以形成探索與研究的課堂氣氛，使得課堂教學不再是單純地傳授知識的過程.
案例2.：
劉徽（公元263年左右）的證明：
劉徽用了巧妙的“出入相補”原理證明了勾股定理，“出入相補”見于劉徽為《九章算術》勾股數──“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”所作的注：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也.”如何將勾方與股方出入相補成弦方，劉徽未具體提示，學界比較常見的推測是如下圖.
③剪拼法（學生動手驗證）
證明方法之特征：數形結合證法，建立在一種不證自明、形象直觀的原理上，主要是用拼圖的方法證明，使數學問題趣味化.
翻開古今的數學史，不僅勾股定理的歷史深厚幽遠，所有的數學知識都蘊涵著曲折的道路、閃光的思想、成功的喜悅和失敗的教訓.將數學史的知識融入數學教學中，發揮數學史料的功能，是數學教育改革的一項有力的措施.正象法國數學家包羅·朗之萬所說：“在數學教學中，加入歷史具有百利而無一弊.”
參考文獻
[1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數學課程標準 （實驗稿） 》[S] 北京：北京師范大學出版社