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[關鍵詞]就業彈性；弧彈性；雙對數模型；變截距模型
[中圖分類號]F224.0 [文獻標識碼]A [文章編號]1003-3890(2007)11-0053-06
自20世紀90年代以來，經濟增長和就業增進未能同步擴張日益成為解讀中國經濟發展的難點所在，并受到了經濟學家們越來越多的關注。當前國內對此問題的研究思路之一是考察就業彈性，這一思路實際是以新古典增長理論為依托，從經濟增長的長期視角來考察就業量的演變趨勢，它在理論上是完全自治的，因而為大多數研究者所采用。研究者主要從計算方法、計算口徑、變動趨勢和變動原因等各個層面對就業彈性作了大量實證研究，但從已有的文獻來看，經濟學界對這一問題的研究并不充分，當前的研究集中于就業彈性的靜態測算和走勢分析，而未能在經濟演進的背景下對就業彈性進行更深入的動態考察。更重要的是，由于對計量技術的把握尚有欠缺，對就業彈性測算方法的準確性問題至今缺乏較系統細致的討論，對就業彈性的影響因素分析還尚處于起步階段，定量分析與定性分析的結論常存在抵牾之處。理論研究中存在的這些問題都說明對就業彈性測算方法仍需更深入嚴謹的探討。 筆者力圖在全面梳理國內外重要文獻的基礎上，在動態考察經濟增長的規模效應和結構效應的背景下，通過設定新的計量模型，運用基于面板數據的固定影響變截距模型，測算和分析了中國的總體及分產業就業彈性值。
一、就業彈性測算方法
就業彈性的本意是考察每單位GDP的增長能帶動多少單位就業量的增加，對這一概念反映經濟增長與就業增進之間關系的“優度”一直存在爭議。基于筆者的研究目的，本文不涉及有關就業彈性經濟意義的評論，而專注于回應對就業彈性測量方法的批評。
(一)研究路徑
從對當前文獻的考察來看、就業彈性測算技術的發展路徑大體可以描述為：初期研究都以弧彈性方法為起點，進而轉至使用以雙對數模型為基準的計量模型，但在雙對數模型的使用上則產生分岔，下文擬對此作一簡要回顧。
弧彈性方法是指依據彈性的定義，采用中點公式直接計算的方法。這一方法簡單易行，所需數據少，因而大多數研究者，如Rao&Bhanoji(1992)、ILO(1999)、張車偉等(2002)、蔡等(2004)均采用此方法計算就業彈性的逐年值。但就經濟分析而言，這種方法實際上把就業人數增長完全歸因于經濟的增長，不考慮其他因素的影響，經濟意義不完備；就技術層面而言，這一方法也沒有任何拓展空間。而通過建立計量模型測算就業彈性可以有效地克服弧彈性方法的上述不足，計量模型不僅經濟意義充足，技術進步和資本投入等因素的作用都可以包含到截距中并具有容易擴展的優勢，既可以增加自變量，也可以據此建立面板數據模型，從而對就業彈性做更深入的分析和考察。
計量分析依據所采用數據類型的不同而選擇不同的回歸方法，但其基準模型通常采取如下形式的雙對數模型：
lnL=αL+β1nY+u
在對雙對數模型的運用上，經濟學家發展出兩條路徑：
路徑一：使用新的計量方法，由O13回歸乃至更復雜的GLS回歸和最大似然回歸等經濟計量技術。
大體而言，雙對數模型在初始階段的運用有兩種形式：第一種形式是通過對時間序列數據進行OLS回歸，得出某一時間段的就業彈性值。這一方法雖然存在無法測算就業彈性逐年值的內在缺陷，但仍為國內外學者廣為使用。通常的做法是將較長的時間序列數據拆分為若干時間段，進而測算出不同時期的就業彈性值并進行趨勢判斷，如ILO(2000)、張本波(2002)、趙建國(2003)；第二種形式則是通過對橫截面數據進行OLS回歸測算出就業彈性的逐年值，通常的做法是利用某一國家的省級數據測算出該國的GDP總量及分產業的就業彈性逐年值。這一方法目前僅見國外學者所使用，如Padalino.&Vivarelli(1999)、ILO(2000)，國內學者則未見使用。
但上述兩種方法仍有其不足之處。第一種方法通常會遇到這樣的窘境：如果不對時間序列數據拆分，計算出的結果分析價值很小，而拆分又會遇到樣本容量太小，回歸結果可靠性低的問題。這一點在對中國就業彈性的研究中尤為突出。第二種方法通常不會遇到樣本容量問題，但計算結果又嚴重受制于經濟體的數據結構，計算出來的結果常常偏高，可信性同樣偏低。
為了解決數據結構和樣本容量的問題，經濟學家又將面板數據引入就業彈性的研究之中，通過GLS回歸測算就業彈性的時期值。當前的研究主要從兩個方向展開：一是測算某一經濟體隨時間而變的就業彈性時期值，如Solimano&Andres&Guillermo(2002)；一是測算某一經濟體隨樣本成員而變的就業彈性時期值，如張江雪(2005)。
路徑二：設定新的計量方程，通過添加新的控制變量以期求得更為精確可靠的彈性值并揭示更多的經濟意義。
從數據類型的角度而言，上一條研究思路基本已經走到了盡頭，因此國外學者在面板模型的基礎上，又從解釋變量的角度進行了新的嘗試。如Daniel&Asep&Sumaao(2007)所言，對就業彈性的原有研究只注重勞動力需求移動的研究，而完全忽視了勞動力供給移動的研究。因而經濟學家開始將供給因素納入計量模型的設定之中。如Sdimano&Larrain(2002)將實際工資納入解釋變量，Daniel&Asep＆Sumarto(2007)則將勞動參與率的變化率納入解釋變量。
需要指出的是，所有這些新增解釋變量的選擇都對應于研究者所要解決的經濟問題，而非簡單地解決零條件均值，從而求出更精確的估計值。就業彈性的這一最新研究思路在下文的研究中同樣得到鮮明的體現。
(二)簡要評論
從對當前研究文獻的回顧來看，當前的研究主要在兩個方面尚存在缺陷，而如何解決這方面的缺陷，正是本文嘗試設定新模型的意義所在。
首先，基于面板數據的計量模型毫無疑問是今后研究的主流，就已有文獻來看，目前仍未將更復雜的面板數據模型用于測算就業彈性的逐年值，而就業彈性逐年值的測算是進行更深人研究的數據基礎，這不能不說是當前研究的缺憾所在。
其次，盡管經濟學家已經開始考慮除需求之外的其他影響因素，但仍缺乏基于經濟演進的研究視，角，這也是當前國外研究者對就業彈性測量方法最重要的批評意見，從理論上說，經濟總量擴張會對
就業產生兩種效應：一是直接的規模效應，即各產業GDP的增長會增加各產業的勞動力就業量；二是間接的結構效應，即經濟總量的增長會引發就業結構轉變，使勞動力從一個產業流向另一個產業。因此，對就業彈性較完備的測量應能區分這兩種效應，說明某產業的就業吸納量哪些是由于經濟結構轉變帶來的，哪些是由于產業擴張導致的。但正如Kelly(2000)所言，現有的測算均無法區分總量GDP和各產業GDP的增長對就業的影響。
二、方法論和計量模型的設定
本文的研究將表明，將上述兩種研究思路結合起來，通過構建固定影響的變截距模型，設定新的計量方程，就業彈性測量方法的上述不足是完全可以改進的。在此，筆者將詳細探討這一新模型的基本原理和實現方式。
(一)變截距模型的基本思想
隨著計量經濟技術的發展，理論上我們可以利用基于面板數據的變截距模型求得就業彈性的逐年值。鑒于變截距模型在就業彈性測算的應用中很少，筆者先對其基本原理略作介紹。
變截距模型的回歸方程形式如下：
ylt=et+X′itβi+μi+εit= 1，2，……N t=1，2，…T (1)
在以上面板數據模型中，Xit是 1×k維解釋變量向量，βi是k×1維系數向量。μi是個體效應，εXit是殘余擾動項，根據對山的不同假定，面板數據模型被分為固定效應模型和隨即效應模型，如果μi是一個不獨立于X’。的個體常數，則稱固定效應模型，如果μi是獨立于X，的隨即誤差項，則稱隨機效應模型。
將模型設定為固定效應還是隨機效應的常用檢驗方法是Hausman檢驗，其基本思路是在μi與X'it獨立的零假設下構造統計量，檢驗在零假設下的B估計量是否嚴格異于備擇假設下的估計量，如果拒絕了零假設，就認為應該采用固定效應模型，不能采用隨機效應模型，反之，采用隨機效應模型就是合理的。隨機效應模型是對固定效應模型加上了更強的假定，是它的一個特例，或者說，Hausman檢驗是在用來識別數據是否滿足一個更強的假定的特征的，采用固定效應模型是一種更為謹慎的策略。
在許多研究中，代表個體特征的一些變量或者是由于不可觀測或者是出于研究方便便而沒有被作為自變量納入模型，但是這些變量又明顯與被考察的自變量Xit相關，這時，可以允許直接采用固定效應模型而省略Hausman檢驗的程序。在本文的研究中，像固定資產投資這樣的因素顯然對就業有重要影響，同時它又與總產出高度相關，采用隨機效應模型就要求忽略這種相關性，這顯然是很不合理的，加之中國各省份在地理經濟特征上的巨大差異，我們有理由認為基于省級面板數據的回歸是無法采用隨機效應模型的，這也是在此處沒有進行Huasman檢驗而采用固定效應模型的依據。
在樣本量較小的情況下，對固定效應模型的估計，可以將μi作為虛擬變量來處理，亦即生成N個虛擬變量用OLS回歸來估計，可見在固定效應模型中，每一個μi在本質上都是一個參數，與隨機效應中代表殘差項是不同的，固定效應模型會損失一些自由度，這也是放棄對模型的更強假定的代價，對隨機效應的估計通常采用GLS，不存在損失自由度的問題，所以對于截面個體太少的一組樣本數據的固定效應模型就無法進行回歸，筆者只能將部分區域加以合并再進行回歸。
(二)經濟演進就業效應的計量模型
在固定影響變截距模型的基礎上，筆者設定如下計量模型：
lnL8pt=Cltβ2tlnY8pt+β2tlnYtotpt+λ1+upt (2)
式2中的上標s代表各產業，下標p代表各省，L8pt、8pt分別是第p個省產業s第的就業量和GDP，Ytotpt是第p個省第t的GDP總量。這一模型有兩個特點：(1)該模型中兩個待估的彈性系數β1和β1是隨時間可變的；(2)該模型能有效地區分出經濟擴張的兩種效應。在方程(2)中，β1表示直接的規模效應，即某一產業純粹由于自身規模擴張帶來的就業彈性的變動；β2示整體效應，即由于經濟整體擴張所導致的某一產業的就業彈性的變動，將(β2-β1，)即是上文所說的間接的結構效應，如果結構效應為負，那就意味著即經濟整體擴張導致勞動力從本產業中轉移出去；如果結構效應為正，那就意味著經濟整體擴張導致勞動力從其他產業轉移到本產業之中。
從理論上而言，可以直接將省級數據代入方程(2)，但是考慮到中國不同經濟地帶的情況差異很大，如果直接利用全部省級數據進行CLS回歸，離差越大的樣本取值在計算中所占的權重越大，這會導致就業彈性的估計值偏高。更嚴重的是，這樣回歸出來的系數也是不顯著的。為克服這一缺陷，筆者將全國分成四大經濟區域，先分別計算各大經濟地帶的各產業和總量GDP的就業彈性，而后以各大經濟地帶在全國分產業和總量GDP的比重為權數。通過加權平均的辦法計算全國分產業和總量GDP的就業彈性。
三、測算口徑與數據來源
在研究和測算就業彈性時，就業彈性的測算口徑，即是否考慮隱性失業是基于發展中國家背景的一個極為特殊而又重要的問題。因為這一問題直接關系到因變量的取值，所以有必要在此加以說明。
目前尚未見國外學者在研究中涉及這一問題，但國內對這一問題的研究較多。大體來說當前國內研究分為兩派：一派以張車偉等(2002)、齊建國(2002)、常進雄(2005)等為代表(姑且稱為名義派)，他們的研究都以統計年鑒上的名義就業量為依據，不考慮隱性失業問題。而另一派以龔玉泉和袁志剛(2002)、鄧志旺等(2002)、呂民樂(2006)為代表(姑且稱為實際派)，他們明確指出，由于隱性失業的存在，基于統計數據計算的就業增長彈性系數并不是真正的就業彈性，而僅是名義就業彈性系數，實際就業彈性應該以有效就業為基礎。
筆者認為，從穩健性估計和分析意義的角度來說，對就業彈性的測算不必考慮隱性失業問題，直
接采用名義就業量是更為可取的做法。首先，實際派方法的理論基礎是有問題的。“隱性失業”一詞來源于發展經濟學，其精確定義是指那些邊際生產力大于0而又小于其制度實際工資(IRW)的勞動者。由此定義可以看出，隱性失業者同樣創造GDP，只是“人不敷出”，如果我們在計算GDP就業彈性時，將其從勞動力投人中扣除，實際上是否認了他們對GDP的貢獻額，這是不合理的。由此造成的問題是，如果我們據此測量就業彈性并對之進行回歸分析，因變量可能會存在嚴重的向下偏誤。其次，中國勞動統計體系尚不完備，城鄉分割制度在就業人員統計中的影響至今依然存在，公布的統計數據往往低估了實際就業總量。即使考慮到隱性失業轉化為有效就業的影響，兩項作用的合力影響是難以估計的。因此本文的測算都直接采用統計年鑒公布數據，不再進行各種基于有效就業量的調整。
為保持數據的一致性，本文所采用的數據全部來自各年的《中國統計年鑒》，鑒于中國統計制度、統計指標和統計口徑多次變動和調整，我們需要對數據來源進行較詳細的說明。
1．本文所用數據的時間序列為1990～2005年。之所以截取這個時間段是因為自1990年開始，中國的就業總量數據依據人口抽樣調查數據推算獲得，而之前的社會勞動者總量數據依據各單位報表合并方法獲得，1990之前和之后的數據不具備經濟分析上的可比性。
2．本文所采用數據指標包括GDP和就業人員的全國和省級總量數據、分產業的GDP和就業人員的全國和省級數據。其中，1997年以前各年各指標省級數據樣本為29個，自1997年始各年各指標省級數據樣本為30個。
3．1998年以后GDP總量及分產業的全國數據依《2006年中國統計年鑒》，即采用了2004年經濟普查后的調整數據。1990～2000年，就業人員總計、城鎮和鄉村就業人員小計資料根據第五次全國人口普查資料重新調整，2001年及以后資料根據人口變動抽樣調查資料推算。
4．1998年以后的各年各指標省級數據均采用各年《中國統計年鑒》公布數據，未采用根據2004年經濟普查后的調整數據。其中，1990年分產業生產總值省級數據依《1991年中國統計年鑒》中的“各地區社會總產值”計算得到，1995年數據依《1997年中國統計年鑒》推算獲得；1990，1992年分產業就業量省級數據依1991～1993年《中國統計年鑒》中的“各地區分行業社會勞動者人數”合并計算得到。
5．本文研究所使用的各類GDP數據均采用名義值，不進行平減指數調整。這樣做的理論依據是Lucas的信息孤島理論，即認為經濟主體更多地是依據名義價格而不是實際價格進行行為調整。
四、測算結果及比較分析
在此，筆者先對基于固定影響的變截距模型所得計量結果進行分析，進而從方法論的角度將其同傳統方法所得測算結果進行簡要比較。
(一)實證結果分析
計量方程(2)的回歸結果表明：西北區域的分產業和總量GDP就業彈性都是不顯著的，華北和中南區域只有第二產業的回歸結果是基本顯著的，華東區域的第一、二產業的回歸結果除個別年份都是顯著的。基于此，筆者無法用加權平均的辦法計算出全國的分產業就業彈性取值。但出于方法論探討的目的，本文選擇以華東地區第一和第二產業的就業彈性測算結果，對所建立的回歸模型展開分析。
這樣做的原因有三點：首先，華東地區是中國經濟最為發達的地區，也是城市化最高的地區，這一地區的經濟發展程度已經超越了劉易斯轉折點，農村不再具有勞動力蓄水池的功能，因而對第一產業的分析是有意義的；其次，華東地區雖然不是中國的重工業集中地帶，但作為最早的沿海開放地帶，其制造業，尤其是輕工業的發展到了相當成熟的程度，因而有利于分析經濟總量擴張對就業的結構效應；最后，中國第三產業的省級數據由于統計制度的原因，統計往往是不全面的，對其進行分析的數據基礎比較薄弱，事實上，所有關于第三產業的區域回歸分析結果絕大多數都是不顯著的。
考慮到上述因素，筆者給出如表1所示的回歸結果。
不難看出，表1所列數據具有明確的經濟意義。首先，β1的取值全部為正，這說明某一產業自身規模的擴張必然吸納更多的勞動力，這同新古典增長函數的內涵是完全相匹配的；其次，第一產業的結構效應系數全部為負，說明華東地區的確存在著持續的農業勞動力向二產和三產轉移的過程，這同劉易斯的二元經濟理論以及錢德勒大國模型的預言是完全相吻合的；第三，第二產業的結構效應系數有些年份為正，有些年份為負，這主要是由于政府大力推行積極就業戰略，結構效應系數基本取正值，這一變動態勢同華東地區第二產業的組成結構及歷史演變也是相一致的。
上述分析表明，在數據基本可靠的前提下，基于方程(2)所回歸的結果是可信的，統計意義和經濟意義都是顯著的，并且確實能有效地揭示就業彈性的變動特點，有效地區分和揭示經濟總量擴張所具有的兩種就業效應。這就證明，筆者提出的這一計量模型和計量方法是可信的。
(二)基于經濟意義的比較分析
如前文所述，國內外學者采用不同方法對就業彈性的測算做了大量研究，如張車偉和蔡防(2002)、常進雄(2005)、呂民樂(2006)，將他們的測算結果同本文的計算結果相比較，筆者發現，從經濟演進的視角觀察就業彈性的變動特點，能夠揭示出若干新的結論：
1．觀察表1中第一產業的規模效應、總量效應和結構效應數據序列，不難得出以下三個結論：(1)經濟增長中農業就業的總量效應和結構效應表現為穩定的負值時間序列數據，這表明隨著經濟結構的不斷演進，將會有越來越多的勞動力從農業轉移到第二和第三產業中；(2)結構效應取值的絕對值是相當大的，平均取值在0.9左右，并呈現逐漸增大的勢頭，這表明隨著經濟的進一步發展，會有越來越多的勞動力從農業中轉移出去；(3)規模效應的取值雖然為正值，但其平均值僅為0.45左右，并呈現逐漸減小的態勢，這說明即使進一步擴大農業的生產規模，它所能吸收的勞動力數量也是有限的，而且吸納力度會越來越小。
以上三點清晰地表明，農業的就業吸納潛力是極為有限的。要解決剩余勞動力或隱性失業問題，只能依托二、三產業的發展，那種繼續將農村和農業作為剩余勞動力蓄水池的做法是不符合經濟發展要求的。
[關鍵詞] 數學工具 經濟分析 經濟預測
在經濟學發展的歷程中,一些數學工具在不斷地被應用于經濟學的許多領域,這使得數學在不斷應用于經濟學的過程中強化著二者的關系。而且經濟學發展中的每次重大突破都與數學有著重大的關系,微積分應用于經濟學中引發了經濟學的邊際革命;隨著概率論的引入,經濟計量學應運而生;在運用了運籌學中的博弈論之后,對經濟問題中的不確定性與風險性的研究才有了突破性的進展。總結起來,數學工具在經濟學中的應用大致分為兩個方面,一方面是利用數學工具研究一些確定性的經濟關系,對其進行總結分析;另一方面是對一些不確定性的經濟關系,利用數學工具根據已有的經濟現象預測未來,探索一些經濟規律。
一、數學工具在經濟分析中的應用
1.利用導數進行邊際分析
定義 設y=f(x)是一個經濟函數,其導數f’(x)稱為的f(x)邊際函數,f’(x0)稱為f(x)在x0的邊際函數值。例如,成本函數C(q)的導數C’(q)稱為邊際成本;收益函數R(q)的導數R’(q)稱為邊際收益;利潤函數L(q)的導數L’(q)稱為邊際利潤。
由邊際函數的概念不難發現,經濟學中的邊際概念實際上就是導數概念的經濟化,所以我們就完全可以把數學分析中有關利用導數研究函數性態的知識用來進行邊際分析。例如,通過利用導數來研究函數的單調性,從而分析總利潤隨產量的變化的情形。
總利潤函數等于收益函數與成本函數的差,即L(q)=R(q)-C(q) ,則邊際利潤L’(q)=R’(q)-C’(q)。由導數與函數單調性的關系得到:,而,通過分析我們可以得到以下經濟現象,(1)當產量已達到q0(q0是滿足R’(q)≥C’(q)的解),此時L(q)是增函數,若再多生產一個單位產品,所增加的收入大于所增加的成本,總利潤增加;(2)當產量已達到q0(q0是滿足R’(q)≤C’(q)的解),此時L(q)是減函數,若再多生產一個單位產品,所增加的收入小于所增加的成本,總利潤減小。
導數的定義決定了在邊際分析中,所討論的是函數的變化率問題,是個絕對變化率,而要更深入的分析一些經濟問題,需要研究函數的相對變化率,進行彈性分析。
2.利用導數進行彈性分析
彈性研究的是函數的相對變化率(因為與都是相對改變量),它反映的是自變量的變化幅度對因變量變化幅度的影響程度,由定義知當時,,即當自變量在x0處增加1%時,因變量y相應地在y0=f(x0)處近似地改變個百分數。
下面利用彈性分析來討論需求價格彈性與總收益R(p)=pD(p)之間的關系。因為R’(p)=D(p)+pD’(p)=D(p)Ep=D(p)(1-Rp)可見:(1)當Ep>1時,R’(p)
綜上,需求價格彈性和總收益的關系可概括為:如果價格和總收益以相反方向變化,那么需求是有彈性的;如果價格變化但總收益不變,那么需求是單位彈性的;如果價格和總收益以相同方向變化,那么需求是無彈性的。
3.利用導數進行優化分析
在高等數學中,利用導數求函數的極值是一種常用方法。具體地講,函數的最大值或最小值在導數為零的點處取到,在實際問題中,最值點就是極值點。在經濟分析問題中,我們可以利用該方法進行經濟分析。當我們根據經濟現象建立了數學模型,當經濟函數是一元或二元函數時,通過求導數或偏導數,再求導數為零的點,該點就是經濟問題的最優點,根據實際可能是收益最大化的點,或者是消耗最小化的點。
在以上的經濟分析問題中,所研究的都是一些確定性的經濟關系,而對一些不確定性的經濟關系的研究,需要我們先對經濟變量間的關系進行測定,從而進行經濟預測,探索一些經濟規律。
二、一些數學工具在經濟預測中的應用
1.回歸分析在經濟預測中的應用
回歸分析是研究相關關系的一種數學工具,是數理統計中最常用的統計方法之一。所謂回歸分析就是對具有相關關系的兩個或兩個以上變量之間數量變化的一般關系進行測定,確立一個相應的數學表達式以便從一個已知量來推測另一個未知量,為估算預測提供一個重要的方法。
2.馬爾科夫鏈在經濟預測中的應用
可以利用馬爾科夫鏈來預測經濟狀態的變化趨勢,在[6]中,應用馬爾科夫鏈理論建立了期望銷售利潤預測的數學模型,并結合有關實例進行了計算分析,另外也可以用來預測市場占有率等。
三、結論
隨著經濟學的發展,用數學工具來分析和求解問題已成為對各種經濟領域進行研究,從而獲得最佳解決方案的必要手段。當然,為了更好地利用數學來研究、解決經濟問題,我們要從經濟的實際出發建立數學模型,運用數學的理論和方法求解模型,進而形成經濟理論,并在實踐中驗證這些理論,然后利用他們指導經濟運作。
參考文獻:
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關鍵詞：需求價格彈性；弧彈性；點彈性
中圖分類號：F713.3文獻標志碼：A文章編號：1673-291X(2008)09-0096-02
一、問題的提出
彈性是指作為因變量的經濟變量的相對變化對于作為自變量的經濟變量的相對變化的反應程度，其定義式為e=-。目前許多西方經濟學中求彈性系數常用的方法有:
在微觀經濟學關于需求價格彈性與銷售收益之間的關系中，幾乎所有的經濟學教科書得出的都是相同的結論，即當e＜1時，降價將導致銷售收益的增加，提價將導致銷售收益的減少；e＜1時，降價將導致銷售收益的減少，提價將導致銷售收益的增加。然而，通過嚴格的數學分析，本文證明得出這個結論并不是恒成立的，如果要使其成立也要有一定的條件。下面將從傳統教材對這一觀點的證明入手，接著結合本人的證明對這一問題展開論述。
二、傳統證明方法對需求價格彈性及其與銷售收益之間關系的分析
首先，我們總結一下傳統的證明與分析方法對需求價格彈性與銷售收益之間關系的論述。對這一問題的論述主要有兩種方法，第①是用弧彈性的方法，第②是用點彈性的方法。
三、對需求價格彈性及其與銷售收益之間關系的證明與分析
以上兩種方法都是對需求價格彈性及其與銷售收益之間關系的證明，下面本人再通過分析論述，證明得出這一結論的不正確性。
（1）我們先來證明當e=1時，其收益是否不會隨價格的變化而變化。設價格P的變動幅度為r(r＞0)，r=PP；因為需求量與價格成反向變動，那么Q的變動幅度為-r=Q/Q。價格變動后的總收益為：P2Q2=P1(1+r)×Q1(1-r)=P1Q1×（1+r）（1-r）。
參考文獻：
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【關鍵詞】經濟增長 就業彈性
一、改革開放以來我國就業彈性變動趨勢的直觀判斷
無論是從經濟增長核算理論，還是從奧肯定律，我們都可以得出經濟增長與就業之間正的互動機制。但是在我國二者變動的速率在很多時期存在差異，所以就業彈性經常會發生變化。我國就業彈性的變動趨勢到底怎樣，學術界存在很多爭論。一種觀點認為就業彈性在下降。張車偉、蔡（2002）、張本波（2005）、趙建國（2003）等學者認為，從1978年開始，80年代的就業彈性水平較高，從90年代開始，就業彈性系數開始逐漸下降，并一直保持下降的趨勢。龔玉泉、袁志剛（2002）也指出經濟增長與就業變動呈現出較強的非一致性，即“一方面經濟保持快速增長，另一方面就業增長率逐步下降，失業和下崗人員逐漸增多。”另一種觀點認為就業彈性先穩定后下降再回升。這種觀點認為第一產業表現為就業彈性的高穩定水平，隨著第一產業向第二產業的過渡，就業彈性表現為穩定后的下降階段，隨著第三產業在經濟增長當中的比重上升，就業彈性表現為由谷底的回升趨勢。第三種觀點認為大量統計數據顯示的我國就業彈性系數下降的“表象”，極有可能是由于統計口徑，以及隱性就業的存在，我國實際的就業彈性系數可能表現為震蕩的特征（鄧志旺、蔡曉帆、鄭棣華，2005）。
從圖1看，我國在90年代以前，無論是GDP，還是就業人數的變動趨勢都較為平緩，我們推測，這個時期的就業彈性可能比較大。但90年代之后，GDP的增長幅度要明顯的大于就業的增加的幅度，二者之間的斜率差異表現的十分明顯，從直觀上的判斷，這個時期的就業彈性會逐漸下降。實際情況是否這樣？整體經濟的就業彈性變化過程中，每一產業的就業彈性的變動模式是否會出現差異？這些問題需要通過實證分析進行回答。
圖1 我國的GDP與就業量（1978-2009年）
數據來源：1979-2010年《中國統計年鑒》。
二、我國改革開放以來就業彈性的計算
為了驗證改革開放以來我國就業彈性變化趨勢的直觀判斷結果，需要計算出這段時期的就業彈性的值。
按照就業彈性的定義，就業彈性=就業增長率/GDP增長率。分別計算1978～2009年就業增長率與GDP增長率，然后據此計算每天的就業彈性。計算結果見表1。
表1 1978～2009年的我國就業彈性的計算
數據來源：表中的GDP與就業人數來自1979-2010年《中國統計年鑒》，增長率與就業彈性計算得出。
從表1中可以看出改革開放以來我國就業彈性變化的情況。20世紀七十年代末八十年代初，就業彈性逐年上升，并保持在較高水平。從八十年代中期開始就業彈性開始下降，除了1990年由于城鎮人口統計口徑變動造成就業彈性值異常之外，從九十年代開始，我國的就業彈性開始大幅度下降，最低時僅僅為0.0266。雖然在98年東南亞金融危機前后由于經濟增長速度下降造成就業彈性短期升高，但之后又降到很低的水平。這種變動趨勢與本文第一部分直觀感受的結果大致相符。
三、改革開放以來我國不同產業就業彈性的實證估算
對不同產業的就業彈性進行實證估算，是用計量經濟學分析方法，使用Eviews軟件對“經濟增長對就業的拉動作用”從總量及三次產業角度，分時間段估算出大致的就業彈性，并對總量及不同產業在不同時間段對勞動力的吸納能力進行分析，從而推測我國就業彈性的變動趨勢。
（一）相關變量數據的計算
分產業就業彈性的計算仍然按照上一節的方法，為不同產業就業人數的增長率與相對應產業產值增長率的比值。計算結果見表2。
表2 1978～2009年我國整體經濟與三次產業的GDP和就業人數增長率
數據來源：根據1979～2010年《中國統計年鑒》計算所得，計算結果按照四舍五入的原則保留小數點以后兩位數字。）
（二）建立模型
將對總量及不同產業在不同時間段的就業彈性進行估算，時間段主要劃分為兩個階段：1978～1998，1999～2009，因此，需要建立8個回歸方程，分別是：
其中y位每一產業就業人數的增長率，χ位每一產業產值的增長率，β代表總量及產業的就業彈性，ε代表隨機誤差項，反映模型與實際情況的偏差，下標分別代表總量及不同的產業及其對應的時間段，例如y01代表總量在第一個時間段（1978年～1998年）就業人數的增長率，y32代表第三產業在第二個時間段（1999年～2009年）就業人數的增長率。
運用Eviews軟件對每一個模型分別進行最小二乘估計，回歸的就業彈性結果見表3。
表3 計量模型回歸的就業彈性
（三）結果分析
由回歸的結果可以看出，我國總的就業彈性由1978～1998年的0.119857下降到了1999年～2009年間的0.016781，并且這個下降幅度總的來說比較大。第一產業吸納勞動力的能力也存在下降，1978～1998年間，第一產業的產值每上升1個百分點就能夠帶來0.539772個就業量的增加，第一產業對就業量的吸納在三大產業當中占主導地位，而到了1999～2009年間，第一產業的就業彈性不但下降，并且彈性值下降為負值，也就是說第一產業不再吸納勞動力，并且表現為不斷“釋放”隱性失業的勞動力。第二產業在1978～1998年間的就業彈性較小，但是總的來說第二產業仍能吸納一部分勞動力，表現為第二產業的產值每上升1%就會擴大對就業的需求0.149095個單位，到了1999～2009年間，第二產業就業彈性進入快速增長階段，就業彈性上升到0.474714，成為帶動就業增長的主要力量。第三產業在第一階段的就業彈性在三大產業當中是最小的，產值增長1%僅能夠拉動就業增長0.065108個單位，而在1999年～2009年間，第三產業表現出比第一階段對就業量的吸納能力上升的潛質，但是這個增長比較微小，僅有0.03個單位，并且第三產業還遠沒有成為替代第二產業成為拉動就業增長的主導力量，但是同時我們應該注意到第三產業的就業彈性具有較大的上升空間，可以成為推動我國就業彈性向上運動的主要動力。
總的來說，從我國經濟數據的實證分析可以看出，我國總的就業彈性存在不斷下降的趨勢，第一產業不斷釋放“隱性失業”的就業人口，表現為其彈性不斷下降，并且其數值為負增長。第二產業逐漸替代第一產業成為吸納社會勞動力的主導力量，但是隨著第二產業向資金密集型及技術密集型的產業導向發展，資本有機構成的提高必然會帶來勞動力的供給嚴重超過對勞動力的需求，表現為就業彈性的下降。而提高我國就業彈性的拉動力就要靠第三產業，盡管在現階段我國第三產業的發展還不太成熟，其就業彈性相對水平較低，但是第三產業在我國仍有不斷發展的空間，并且其就業彈性在現階段顯示出微小的增長，這意味著我國的就業彈性仍然有不斷上升的空間。
參考文獻
[1]張車偉、蔡.就業彈性的變化趨勢研究中國[J].工業經濟,2002第5期.
[2]張本波.我國就業彈性系數變動趨勢及影響因素分析[J].經濟學動態,2005年第8期.
[3]趙建國.經濟增長促進就業的實證分析[J].財經問題研究,2003年第5期.
[4]龔玉泉、袁志剛.中國經濟增長與就業增長的非一致性及其形成機理[J].經濟學動態,2002年第10期.
[5]鄧志旺、蔡曉帆、鄭棣華.就業彈性系數急劇下降:事實還是假象[J].人口與經濟,2005年第5期.
一、引言
作為國家教育部指定的經管類專業核心主干課程之一，經濟學在全國各個專業財經院校和非專業財經院校的財經類專業課中普遍開設。尤其是微觀經濟學，是大部分經管類專業的學生接觸的第一門專業性學科，因其對微積分、線性代數及概率論與數理統計有一定的學科要求，加之其理論性較強、邏輯性較強的特性，使得相當數量的學生對其產生愛橫交織的感覺。
二、類比分析在微觀經濟學教學過程中的實踐
類比分析(analogical analysis)主要應用在數學物理工程類的學科中，它通過兩個或兩類對象的比較，找到兩者在某些方面(特征、屬性和關系)的邏輯類似點，從而把其中一個對象的有關性質移植到另一對象中去。因此，類比推理是從特殊到特殊的思維方法，其客觀依據是客觀事物的相似性。
相似性是客觀世界的一種普遍性，微觀經濟學的知識體系也不例外。所以在實際的教學過程中，教師應重點闡述知識體系之間的邏輯關系，尤其是具有類比性的知識體系。
(一)類比分析在“彈性”教學過程中的應用
在講解“彈性”概念時，將經濟學的彈性與物理意義的彈性比較。彈性的本意是一個物理學的概念，是指材料物體對外界力量的反應程度，引出彈性的數學定義。則彈性大的含義是伸縮性強，體現在經濟學中為“可有可無，無所謂”，則其代表為對于中低收入者的高檔消費品。
對需求的價格彈性的講授應相對細致詳細，這樣有助于學生把需求的價格彈性類比到對需求的收入彈性、需求的交叉彈性以及供給的價格彈性等學習中。
(二)類比分析在“d曲線與D曲線的關系”教學過程中的應用
由于壟斷競爭廠商提供了有差別的且可替代的產品，所以，每個廠商面臨著兩條交叉的需求曲線。d需求曲線體現行業的壟斷性，產品的差別性，表示個別廠商單獨行為時所面對的需求狀況，即某個廠商改變產品價格，而其它廠商的產品價格均保持不變時該廠商的產品價格與銷售量之間的關系。d需求曲線是廠商的理想產量，其斜率較大，相對于橫軸平坦。D需求曲線體現行業的競爭性，產品的替代性，表示許多廠商共同行為時所面對的需求狀況，即集團中的某個廠商改變產品價格，其它廠商也使價格發生相同變動時，該廠商的產品價格與銷量之間的關系。D需求曲線體現的是廠商的實際產量，其斜率較小，相對于橫軸陡峭。
d曲線與D曲線的關系主要有三點：(1)當集團中的所有廠商都以相同方式變動價格時，整個市場價格的變化會使得單個壟斷廠商的d需求曲線沿著D需求線上下平移。(2)d需求線與D需求線相交意味著壟斷競爭市場的供求相等狀態。(3)d需求線的彈性大于D需求線的彈性，即前者比后者更平坦一些。
d曲線與D曲線的三個關系可以類比于成年人尋找配偶進行類比分析。第一，假設某位女青年小G希望自己找到一個理想的男朋友，對男朋友的要求可能有很多理想的條條框框，例如，“高富帥”。這種對異性朋友理想的需求狀態就類似于d曲線。隨著時間的流逝，小G發現，現實生活中并沒有完美的異性朋友。因此，小G就只能調整自己的心理預期，同時這種調整也是圍繞著理想預期來進行調整。這種對現實朋友的需求狀態就類似于D曲線。第二，當理想與實際達到交點的時候，小G就很有可能與之成為戀人，感受到幸福，實現均衡。第三，在此過程中，可以發現，小G對理想朋友的要求高很多，條件也偏多。因此，現實朋友更類似于生活必需品，理想朋友類似于奢侈品，其彈性當然也比實際朋友的彈性大很多了。綜合來看，小G找朋友與d曲線、D曲線的類比關系參見表1。
因此，不難發現，作為微觀經濟學理論中的重難點之一，“壟斷競爭理論中的d曲線與D曲線”之間的三層關系是非常復雜的。作為三本院校的學生，理解這個知識點就更具有難度。但是采用這樣非常生動的類比分析，學生能夠很快地理解其含義，結合對完全競爭市場和完全壟斷市場的利潤最大化方法的五步驟，很快就能完全掌握壟斷競爭的短期均衡了。具體而言，第一步，根據MR=MC找到均衡Q*;第二步，根據Q*在d曲線上找到對應的P*;第三步，根據Q*在AR曲線上找到對應的TR;第四步，根據Q*在AC曲線上找到對應的TC;第五步，根據π=TR-TC得到利潤最大化或虧損最小化的值，詳見圖1。
三、結論
綜合來看，雖然微觀經濟學的學習對學生的邏輯思維能力要求較高，但如果教師在教學過程中，經常進行適當的類比分析，找到知識點與知識點之間的相似關系，例如消費者效用最大化的均衡條件與生產者利潤最大化條件的相似性;或者找到知識點與現實生活中消費者行為的相似點，都有助于提高學生的學習興趣，輔助學生深入淺出地理解并掌握經濟學概念和原理，為其鋪墊好相關的專業基礎知識，將學習到的經濟學理論學以致用，實現微觀經濟學教學的預期目標。
[關鍵詞] 需求函數 需求價格彈性 收益a
影響需求原因很多，但價格是一個決定性的因素，受需求函數的約制，價格的改變必引起需求量的改變，而需求量的改變又會引起收益變化，商家經常想通過價格的調節來增加收益，或轉嫁稅收。而提價或降價都可能要冒減少收益的風險。為了有的放矢的減少風險，就要充分考慮該商品在市場的需求價格的彈性。
一、需求價格彈性的概念
設市場上某商品的需求量是價格的函數，即，當價格在某處取得增量時，需求量相應取得增量，稱與為絕對增量，而稱和為相對增量。如果需求函數可導，但當時，極限存在，則稱為當價格為時需求量對價格的彈性，可記為，即
說明：因為價格的增長將引起需求量減少，需求函數為減函數,即,為了用正數表示需求彈性，故在定義式增加“一”號。
由得知需求價格彈性是需求量變動的百分比與價格變動的百分比之間的比率。即在點時當價格提高或下降1%時，需求函數減少或增長，所以需求價格彈性不僅與每單位價格變動所引起的需求量的變動有關，而且與價及需求量的初始狀態有關。
二、需求價格彈性分類
當時，需求完全無彈性，無論商品價格變動多少消費者需求量不變。
當時需求缺乏彈性，價格變動一個百分點需求量變動小于一個百分點需求量相對價格不敏感。
當時需求為單位彈性，價格變動一個百分點需求量變動超過一個百分點，需求量的變動相應價格的變動更為明顯。
當時需求為無限彈性，價格輕微變動就會導致需求量急劇變動。
三、需求價格彈性的計算
在計算需求價格彈性時，根據不同條件和不同要求，往往采用不同計算方法，下面分三種情況分別說明：
1.需求函數當價格由變到時，需求由變到，則在價格變到上的平均彈性為:,當很小時或不需要精確計算時，往往用平均彈性近似代替點彈性。
即需求變化率/價格變化率，借助價格變化率和需求變化率就可求出需求價格彈性，這種做法的好處是不需要知道需求函數，只需價格需求量的百分比。
例1 某商品的價格由每臺500元降到每臺450元時，每周的銷售量在原來1000臺的基礎上增加了500臺，求該商品的需求彈性。
解：
因，需求富有彈性，故降低價格可使總收益增加。另外，上述需求價格彈性又是需求函數的相對變化率，即
可借助價格變化率和需求量變化率求出需求價格彈性。
例2 某商品滯銷，準備以降價擴大銷路。如果要求以10%的代價下調價格，換回銷售量增加15%；20%，求該產品的需求彈性變化范圍。
解:
從而看出該產品的需求彈性在1.5∶2之間愛你，且，需求富有彈性，所以該方案可以使總收益增加。
這種以平均彈性代替點彈性的做法是不需要知道需求函數的，只要知道兩點的價格和需求量的變化百分比即可。但當價格發生很大變化時，就隨和值的不同變化幅度較大，就不能很好的反映點的彈性。
2.點需求價格彈性公式
該公式是由平均彈性經極限過程而來，利用該公式計算需求彈性，必須知道需求函數和和的初始值。
例3 設每天從甲地到乙地飛機票的需求量是
其中 是票價。
(1)求需求價格彈性；
(2)票價定為何值時，航空公司的收益最大？
解：(1)由于，故需求彈性為
(2)令，得=600（元）。
從上式分析，當0＜＜600時，
3.弧彈性公式
需求曲線對于價格的上升和下降，其彈性值應一致，但當價格和需求量的基期值選取不同時，將導致彈性值不一致。為了解決這一矛盾，使價格上升和下降的彈性值保持一致，采用、的平均值引入如下弧彈性公式：
，其中1、1是基期的價格與需求量。2、2是終期的價格與需求量。用弧彈性公式比用變動百分比計算彈性更常用，是目前通用的一種彈性計算公式，經濟學中常用它。
四、需求價格彈性對收益的影響
因為收益函數：
邊際收益函數：，
由此得下列結論：
1.當時，，R遞減需求富有彈性，降價使收益增多反之升價使收益減少；
2.當時，，R不變，需求為單位彈性時價格變化對收益不影響；
3.當時，，R遞減需求缺乏彈性，升價反爾使收益增多降價使收益減少；
同理，若需求函數為，則收益邊際收益。
由此得下列結論：
(1)當η＞1時，需求富有彈性,R增函數，需求量擴大使收益增多，需求量減少收益減少。
(2)當η=1時，需求不變彈性,R常數函數，收益不因需求量改變。
(3)當η
綜上所述,收益的變化受需求彈性的制約，隨商品需求彈性的變化而變化。只考慮通過調整價格增加總收入是不科學的,要仔細研究商品的需求彈性,盲目的提價或降價很可能會造成損失。
特別地，當需求函數為，則是線性的。
總收益為
邊際收益為
需求彈性為
則η的取值依賴于的大小：
(1)當時，，有彈性；
(2)當時，，不變彈性；
(3)當時，，無彈性。
在商業實踐中，對于需求富有彈性的商品可以實行低定價或采用降價策略，這就是薄利多銷。“薄利”是價格低，每一單位產品利潤低，但銷得多收益大，利潤量大。因此降價策略適用于富有彈性的物品，但是對于需求缺乏彈性的商品，不能實行低定價，也不能降價出售，降價反而使總收益減少。
參考文獻：
[1]高鴻業:西方經濟學[M].北京:中國經濟出版社，1998
經濟學是研究稀缺資源優化配置及其社會經濟關系的一門科學，經濟數學是一種嚴密、精確、實用的思維工具，是一門用數學方法來研究經濟問題，以解決稀缺資源如何優化配置的科學。基于資源存量與流量的可度量性，為了使資源配置更加合理、公平，效率更高，經濟必須借助于數學。經濟活動的實踐證明，經濟的發展離不開數量，并且在經濟發展中運用數學的程度與數學本身的發展密切相關。盡管數學的概念和結論極為抽象，但是它們都是從生產實踐來的，并且能在其他學科中、在社會生活實踐中得以廣泛應用。正如恩格斯所說，應用數學來發展現實世界的這種可能性根源在于：數學從這個世界本身提取出來，并且僅僅表現這個世界所固有的關系的形成部分，因此能夠一般地加以應用。
由于現代化生產發展的需要，經濟學中定量分析有了長足的進步，數學分析、線性代數、概率統計、微分方程等已引入經濟學，出現了數理統計學、經濟計量學、經濟控制論等分支，這些新分支統稱為數量經濟學。數量經濟學的目的在于探索客觀經濟過程的數量規律，以便用來指導客觀經濟實踐；在經濟應用數學中，“成本函數”、“收益函數”、“需求函數”和“供應函數”等，得到廣泛的應用，把“二次函數”和“分式函數”擴展為“多項式函數”和“有理函數”，并用它們構造了總成本函數、收益函數、利潤函數、庫存總量函數、邊際函數等。所有這些函數思想在大學的應用數學得到了進一步的發展和利用，并且與現代企業經濟管理相結合，集中體現了經濟數學思想在經濟管理中的應用。以下論述中我們針對企業管理的特點，重點闡述企業管理中的若干經濟數學思想，以求對企業管理實務工作者有所裨益。
二、企業管理中的若干經濟數學思想
在企業管理中，成本利潤、收入需求、價格等經濟量是決策中必需考慮的因素。為了達到利潤最大、成本最小、價格最合理，就要把握最佳產量、最佳銷售量，最佳銷售價格，這常用到求函數的最大、最小值問題，即經濟學中的最優化問題，其實質就是求得能夠使目標函數達到極值時的選擇變量的代數值。
1、成本與利潤函數
企業成本分為兩類，第一類成本的特點是短期內不發生變化，即不隨商品產量的變化而變化，稱為固定成本(廠房、設備等固定資產的折舊、管理者的固定工資等)；第二類成本的特點是隨商品產量的變化而變化，稱為變動成本(通常有能源費用、原材料費用、勞動者的工資等等)。固定成本與變動成本之和為總成本，即TC(q)=FC(q)+VC(q)，其中q為企業的產品產量，這就是企業的成本函數。利潤就是生產者收入扣除成本后的剩余部分，即收益與成本之差，L(q)=R(q)-C(q),這就是企業的利潤函數。
生產者提供商品的首要目的就是獲取利潤，決定生產規模也是獲得最大的利潤。對于生產者來說，成本總是隨著產量的增加而增加的，因而生產決策者不能只盲目地追求產量，還需要根據利潤的變化情況確定適當的產量指標。利潤函數L(q)=R(q)-C(q)=0時，此時生產者既不贏利也不虧損，即收支相抵，我們將滿足收支相抵的點稱為盈虧平衡點(又稱為保本點)。盈虧分析常用于企業經營管理中各種定價或生產決策。
2、邊際分析
在經濟研究中，若以原函數代表成本、收入、利潤等，通常稱之為總函數，如總成本函數，總收入函數，總利潤函數等，而對應的導數就稱之為總函數的邊際函數。邊際是對經濟與企業經營管理進行數量分析的一個重要概念：邊際成本在經濟學中，把產量增加一個單位時所增加的總成本或增加這一個單位產品的生產成本定義為邊際成本，邊際成本就是總成本函數在所給定點的導數。邊際成本在一定產量水平以下，隨著產量的增加而降低，在一定產量以上，會隨著產量的增加而提高，此時，成本會隨產量的增加越來越高，這是由于在生產能力得到充分利用后，要再增加生產需投資新的設備或增加工人工作時間等造成成本的增高。因而在生產管理中，邊際成本的分析是一個不容忽視的問題。
3、需求彈性分析
在經濟學中，把某變量對另一變量變化的反應程度稱為彈性。需求函數彈性就是物品的需求量對價格變化的反應程度。需求彈性Ep為需求變化百分比與價格變化百分比的比值。需求彈性有其實際的經濟含義是表示當某種商品的價格下降(或上升)百分之一時，其需求量將增加(或減少)的百分比。經濟學中，當Ep<-1時，稱需求量富有彈性，也就是價格的變化將會引起需求的較大變化，這時需求量對價格的依賴是很大的，換句話說，適當漲價會使需求較大幅度上升從而增加收入；當-1<Ep<0時，稱需求量是缺乏彈性，即商品需求量的相對變化小于價格的相對變化，此時價格的變化對需求量的影響較小，在適當漲價后，不會使需求量有太大的下降，從而可以增加收入；當Ep=-1時，稱需求為單位彈性，這是需求量的相對變化與價格的相對變化基本相等，即商品的漲價或降價對商品的銷售基本無大的影響。
在企業管理運用彈性進行經濟分析時，應該考慮以下幾點：（1）考慮影響需求價格彈性的因素。影響需求價格彈性的因素主要有：商品的性質，如生活必需品的價格彈性小，奢侈品、可有可無的商品需求價格彈性較大；商品的替代性強弱，可替代的物品越多，性質越接近，彈性就越大；商品的消費支出在總支出中所占的比例，如果一種商品其消費支出占家庭消費總支出的越小，則其需求價格彈性越小；商品用途的廣泛性，用途越廣泛，需求價格彈性就可能越大；時間因素，同樣的商品，從長期看，其彈性越大，從短期看，其彈性小。（2）考察價格與需求價格彈性的關系。在產品富有彈性的情況下，提高價格反而使銷售收入減少，降價卻能增加銷售收入。但隨著價格的下調，需求價格彈性也隨之降低，因此降價促銷是有限度的。近幾年的彩電大戰、VCD大戰實際上是降價大戰，其結果是不利于企業的生存、發展。因此，彈性理論為我們提供了具體而有效的實戰依據。（3）考察需求交叉彈性。交叉彈性Exy是指一種產品的需求量對另一種相關產品價格變化的敏感程度。當企業的產品有互補關系時，就其中一種產品，定價較低可能會減少這部分產品的收益，若其互補品的銷量迅速增加，導致企業總的利潤增加，則此降價方案可行。Exy越大，說明競爭越激烈。因此，企業決策人員應了解掌握本企業產品的需求交叉彈性，除了采用靈活的價格策略外，更應把功夫放在開發產品、改進市場、降低成本等方面上，以保證企業的持續發展。
4、最優化問題
在經濟管理中，常常要尋求經濟函數在一定范圍內的最大、最小值，這就是最優化問題。利潤最大化是企業決策的最終目的，選擇利潤最大的產出水平是經濟數學在經濟管理中最顯著的應用。設利潤函數為L(q)=R(q)-C(q)(q≧0)，為求出使利潤最大的產出水平，首先必須滿足必要條件，即利潤函數的—階導數等于0，此時，邊際收益等于邊際成本；其次，還必須滿足充分條件，即當利潤函數的—階導數等于0時，二階導數小于0。滿足這樣的充分必要條件的產出水平將使利潤最大。最優化問題在企業生產經營決策中也經常碰到。
三、運用數學分析方法進行企業經濟管理決策時需要注意的幾個問題
1、正確處理經濟學與數學的關系
經濟學和數學在研究對象和科學性質上是完全不同的兩門科學，二者的發展規律和趨勢是迥然不同的。二者在發展過程中可以互相影響、互相作用、互相滲透和互相利用。數學作為一種語言和方法，實現了經濟理論的模型化，使之對具有高度復雜性的經濟系統能夠得以在嚴格的假定條件下進行有效的研究，并利用現代信息手段進行加工處理，從中得出一般性的結論，直接為經濟實踐過程提供科學的理論依據。同時，數學方法的運用，大大拓展了經濟理論的研究領域，提高了經濟理論的實用價值，從而推動了經濟理論的發展。
然而，經濟學不能變成為一系列抽象假定復雜公式的堆積，因為經濟活動的規律純粹用數學公式是推導不出來的，而且，經濟發展規律和經濟實踐過程相當復雜和多變，同時還可能會遇到諸多不確定因素的干擾和影響。如果能夠科學、恰當地運用數學語言和方法，把經濟學和數學有機地結合起來，就能夠極大地推動經濟理論研究和經濟實踐工作的發展。相反，如果不顧主客觀條件的允許，盲目地生搬硬套各種公式和模型，把錯綜復雜、或明或暗的經濟現象設計成一堆龐大且難以處理的數學符號，可能導致經濟學成為一種完全虛構的假說。這樣，無論對經濟理論研究，還是經濟實踐過程，都將產生嚴重的誤導作用。
2、正確處理好經濟分析中定性與定量分析的關系
經濟學是一門定性分析與定量分析相融合的嚴密科學。經濟理論在研究過程中，必須處理好定性分析和定量分析的辯證關系。質是事物在性質上區別于其他事物的內在規定性。量是事物所固有的、客觀存在的。任何量總是具有一定質的量，量以質為基礎，而量的變化達到一定的程度，就會引起質的變化。經濟理論研究如果僅僅局限在定性分析上，勢必導致經濟理論的抽象化、空洞化和理想化，使其缺乏足夠的說服力和解釋力；如果只片面強調數學語言和方法的運用，而沒有把經濟理論作為依存的基礎和條件，這種分析則缺乏科學性和可信度，也會導致經濟理論的簡單化、模型化和僵硬化。因此，數量關系所反映出來的社會經濟現象的本質聯系，必須以經濟理論所論證的社會經濟發展規律作為基礎。在企業經營決策中，我們也應該處理好決策中質與量的關系。
經濟學是研究稀缺資源優化配置及其社會經濟關系的一門科學，經濟數學是一種嚴密、精確、實用的思維工具，是一門用數學方法來研究經濟問題，以解決稀缺資源如何優化配置的科學。基于資源存量與流量的可度量性，為了使資源配置更加合理、公平，效率更高，經濟必須借助于數學。經濟活動的實踐證明，經濟的發展離不開數量，并且在經濟發展中運用數學的程度與數學本身的發展密切相關。盡管數學的概念和結論極為抽象，但是它們都是從生產實踐來的，并且能在其他學科中、在社會生活實踐中得以廣泛應用。正如恩格斯所說，應用數學來發展現實世界的這種可能性根源在于：數學從這個世界本身提取出來，并且僅僅表現這個世界所固有的關系的形成部分，因此能夠一般地加以應用。
由于現代化生產發展的需要，經濟學中定量分析有了長足的進步，數學分析、線性代數、概率統計、微分方程等已引入經濟學，出現了數理統計學、經濟計量學、經濟控制論等分支，這些新分支統稱為數量經濟學。數量經濟學的目的在于探索客觀經濟過程的數量規律，以便用來指導客觀經濟實踐；在經濟應用數學中，“成本函數”、“收益函數”、“需求函數”和“供應函數”等，得到廣泛的應用，把“二次函數”和“分式函數”擴展為“多項式函數”和“有理函數”，并用它們構造了總成本函數、收益函數、利潤函數、庫存總量函數、邊際函數等。所有這些函數思想在大學的應用數學得到了進一步的發展和利用，并且與現代企業經濟管理相結合，集中體現了經濟數學思想在經濟管理中的應用。以下論述中我們針對企業管理的特點，重點闡述企業管理中的若干經濟數學思想，以求對企業管理實務工作者有所裨益。
二、企業管理中的若干經濟數學思想
在企業管理中，成本利潤、收入需求、價格等經濟量是決策中必需考慮的因素。為了達到利潤最大、成本最小、價格最合理，就要把握最佳產量、最佳銷售量，最佳銷售價格，這常用到求函數的最大、最小值問題，即經濟學中的最優化問題，其實質就是求得能夠使目標函數達到極值時的選擇變量的代數值。
1、成本與利潤函數
企業成本分為兩類，第一類成本的特點是短期內不發生變化，即不隨商品產量的變化而變化，稱為固定成本(廠房、設備等固定資產的折舊、管理者的固定工資等)；第二類成本的特點是隨商品產量的變化而變化，稱為變動成本(通常有能源費用、原材料費用、勞動者的工資等等)。固定成本與變動成本之和為總成本，即TC(q)=FC(q)+VC(q)，其中q為企業的產品產量，這就是企業的成本函數。利潤就是生產者收入扣除成本后的剩余部分，即收益與成本之差，L(q)=R(q)-C(q),這就是企業的利潤函數。
生產者提供商品的首要目的就是獲取利潤，決定生產規模也是獲得最大的利潤。對于生產者來說，成本總是隨著產量的增加而增加的，因而生產決策者不能只盲目地追求產量，還需要根據利潤的變化情況確定適當的產量指標。利潤函數L(q)=R(q)-C(q)=0時，此時生產者既不贏利也不虧損，即收支相抵，我們將滿足收支相抵的點稱為盈虧平衡點(又稱為保本點)。盈虧分析常用于企業經營管理中各種定價或生產決策。
2、邊際分析
在經濟研究中，若以原函數代表成本、收入、利潤等，通常稱之為總函數，如總成本函數，總收入函數，總利潤函數等，而對應的導數就稱之為總函數的邊際函數。邊際是對經濟與企業經營管理進行數量分析的一個重要概念：邊際成本在經濟學中，把產量增加一個單位時所增加的總成本或增加這一個單位產品的生產成本定義為邊際成本，邊際成本就是總成本函數在所給定點的導數。邊際成本在一定產量水平以下，隨著產量的增加而降低，在一定產量以上，會隨著產量的增加而提高，此時，成本會隨產量的增加越來越高，這是由于在生產能力得到充分利用后，要再增加生產需投資新的設備或增加工人工作時間等造成成本的增高。因而在生產管理中，邊際成本的分析是一個不容忽視的問題。
3、需求彈性分析
在經濟學中，把某變量對另一變量變化的反應程度稱為彈性。需求函數彈性就是物品的需求量對價格變化的反應程度。需求彈性Ep為需求變化百分比與價格變化百分比的比值。需求彈性有其實際的經濟含義是表示當某種商品的價格下降(或上升)百分之一時，其需求量將增加(或減少)的百分比。經濟學中，當Ep<-1時，稱需求量富有彈性，也就是價格的變化將會引起需求的較大變化，這時需求量對價格的依賴是很大的，換句話說，適當漲價會使需求較大幅度上升從而增加收入；當-1<Ep<0時，稱需求量是缺乏彈性，即商品需求量的相對變化小于價格的相對變化，此時價格的變化對需求量的影響較小，在適當漲價后，不會使需求量有太大的下降，從而可以增加收入；當Ep=-1時，稱需求為單位彈性，這是需求量的相對變化與價格的相對變化基本相等，即商品的漲價或降價對商品的銷售基本無大的影響。
在企業管理運用彈性進行經濟分析時，應該考慮以下幾點：（1）考慮影響需求價格彈性的因素。影響需求價格彈性的因素主要有：商品的性質，如生活必需品的價格彈性小，奢侈品、可有可無的商品需求價格彈性較大；商品的替代性強弱，可替代的物品越多，性質越接近，彈性就越大；商品的消費支出在總支出中所占的比例，如果一種商品其消費支出占家庭消費總支出的越小，則其需求價格彈性越小；商品用途的廣泛性，用途越廣泛，需求價格彈性就可能越大；時間因素，同樣的商品，從長期看，其彈性越大，從短期看，其彈性小。（2）考察價格與需求價格彈性的關系。在產品富有彈性的情況下，提高價格反而使銷售收入減少，降價卻能增加銷售收入。但隨著價格的下調，需求價格彈性也隨之降低，因此降價促銷是有限度的。近幾年的彩電大戰、VCD大戰實際上是降價大戰，其結果是不利于企業的生存、發展。因此，彈性理論為我們提供了具體而有效的實戰依據。（3）考察需求交叉彈性。交叉彈性Exy是指一種產品的需求量對另一種相關產品價格變化的敏感程度。當企業的產品有互補關系時，就其中一種產品，定價較低可能會減少這部分產品的收益，若其互補品的銷量迅速增加，導致企業總的利潤增加，則此降價方案可行。Exy越大，說明競爭越激烈。因此，企業決策人員應了解掌握本企業產品的需求交叉彈性，除了采用靈活的價格策略外，更應把功夫放在開發產品、改進市場、降低成本等方面上，以保證企業的持續發展。
4、最優化問題
在經濟管理中，常常要尋求經濟函數在一定范圍內的最大、最小值，這就是最優化問題。利潤最大化是企業決策的最終目的，選擇利潤最大的產出水平是經濟數學在經濟管理中最顯著的應用。設利潤函數為L(q)=R(q)-C(q)(q≧0)，為求出使利潤最大的產出水平，首先必須滿足必要條件，即利潤函數的—階導數等于0，此時，邊際收益等于邊際成本；其次，還必須滿足充分條件，即當利潤函數的—階導數等于0時，二階導數小于0。滿足這樣的充分必要條件的產出水平將使利潤最大。最優化問題在企業生產經營決策中也經常碰到。
三、運用數學分析方法進行企業經濟管理決策時需要注意的幾個問題
1、正確處理經濟學與數學的關系
經濟學和數學在研究對象和科學性質上是完全不同的兩門科學，二者的發展規律和趨勢是迥然不同的。二者在發展過程中可以互相影響、互相作用、互相滲透和互相利用。數學作為一種語言和方法，實現了經濟理論的模型化，使之對具有高度復雜性的經濟系統能夠得以在嚴格的假定條件下進行有效的研究，并利用現代信息手段進行加工處理，從中得出一般性的結論，直接為經濟實踐過程提供科學的理論依據。同時，數學方法的運用，大大拓展了經濟理論的研究領域，提高了經濟理論的實用價值，從而推動了經濟理論的發展。
然而，經濟學不能變成為一系列抽象假定復雜公式的堆積，因為經濟活動的規律純粹用數學公式是推導不出來的，而且，經濟發展規律和經濟實踐過程相當復雜和多變，同時還可能會遇到諸多不確定因素的干擾和影響。如果能夠科學、恰當地運用數學語言和方法，把經濟學和數學有機地結合起來，就能夠極大地推動經濟理論研究和經濟實踐工作的發展。相反，如果不顧主客觀條件的允許，盲目地生搬硬套各種公式和模型，把錯綜復雜、或明或暗的經濟現象設計成一堆龐大且難以處理的數學符號，可能導致經濟學成為一種完全虛構的假說。這樣，無論對經濟理論研究，還是經濟實踐過程，都將產生嚴重的誤導作用。
2、正確處理好經濟分析中定性與定量分析的關系
經濟學是一門定性分析與定量分析相融合的嚴密科學。經濟理論在研究過程中，必須處理好定性分析和定量分析的辯證關系。質是事物在性質上區別于其他事物的內在規定性。量是事物所固有的、客觀存在的。任何量總是具有一定質的量，量以質為基礎，而量的變化達到一定的程度，就會引起質的變化。經濟理論研究如果僅僅局限在定性分析上，勢必導致經濟理論的抽象化、空洞化和理想化，使其缺乏足夠的說服力和解釋力；如果只片面強調數學語言和方法的運用，而沒有把經濟理論作為依存的基礎和條件，這種分析則缺乏科學性和可信度，也會導致經濟理論的簡單化、模型化和僵硬化。因此，數量關系所反映出來的社會經濟現象的本質聯系，必須以經濟理論所論證的社會經濟發展規律作為基礎。在企業經營決策中，我們也應該處理好決策中質與量的關系。
