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關鍵詞：反證法；數學；證明
【中圖分類號】G633.6
1 引言
公元前六世紀中期的古希臘七賢之首--泰勒斯最早引入了數學證明的思想，公元前三世紀的古希臘數學家歐幾里德第一個最廣泛、最嫻熟地運用了數學證明，我國數學家江澤函則指出："沒有數學證明，就沒有數學"。反證法是數學證明中的一種間接證明方法，在數學命題的證明中被廣泛應用。歐幾里德證明"素數有無窮多"、歐多克斯證明"兩個正多邊形的面積比等于其對應線段比的平方"、"鴿子原理"和"最優化原理"的證明等都用了反證法。但是由于在現行的各種教材中沒有對反證法給出系統的介紹，學生對反證法原理的理解和恰當地運用也存在不少的問題，故本文在此"拋磚引玉"。
2 反證法內涵
2.1 什么是反證法
法國數學家阿達瑪說過："反證法在于表明，若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾。"即先假設命題中結論的反面成立，結合已知的定理條件，進行正確的推理、論證，得出和命題中的題設或前面學習過的定義、公理、定理、已知的事實相矛盾，或自相矛盾的結果，從而斷定命題結論的反面不可能成立，因而斷定命題中的結論成立，這種證明的方法就叫做反證法。
2.2 反證法的原理
2.2.1 矛盾律
矛盾律是亞里士多德的形式邏輯的基本規律之一，其基本內容是：在同一個論證過程中，對同一對象的兩個相矛盾的、對立的判斷，其中至少有一個是假的，它的公式是：不是。如對""這個對象，"是有理數"和"是無理數"的兩個判斷中至少有一個是假的。
2.2.2 排中律
排中律是形式邏輯的由一個基本規律，其基本內容是：在同一個論證過程，對同一對象的肯定判斷和否定判斷。這兩個相矛盾的判斷必有一個是真的，它的公式是：或者是或者是，排除了第三種情況的可能，在數學論證中常根據排中律進行推理。如要證明"是有理數"，只要證明"不是有理數"不真就夠了。這是因為"不是有理數"和"是有理數"是對象的兩個相矛盾的判斷，根據排中律，其中必有一個是真的。
2.3 運用反證法證明論題的步驟
運用反證法證明數學命題""，首先，必須弄清楚命題的條件和結論，然后按以下步驟進行論證：
第一步：否定命題的結論，作出與相矛盾的判斷，得到新的命題；
第二步：由出發，利用適當的定義、定理、公理進行正確的演繹推理，引出矛盾結果；
第三步：斷定產生矛盾的原因，在于判斷不真，從而否定，肯定原結論成立，間接證明了原命題。
分析上述三個步驟可以發現，運用反證法的關鍵在于由新的論題演繹出一對矛盾，一般為推出的結果與某一定義、定理、公理、已知條件、所作題斷矛盾，或是推出兩個相互矛盾的結果。
值得注意的是在運用反證法證明命題時要認真細致地審題，若發現與論題結論相矛盾方面有不止一種情況，必須予以一一否定。且有時并非全部運用反證法，它可能只在證明過程中部分地出現。
3 反證法在證明論題中的運用
反證法是重要的證明方法，在幾何、代數等領域都有廣泛的運用，現分類舉例說明。
3.1 反證法在幾何中的運用
3.2 反證法在代數中的運用
4 結語
由上可知，用反證法證明一些問題時，有著其它方法所不能替代的作用。師生在了解了反證法的特點、證明過程及應用"須知"后，加強訓練、不斷總結，就能熟練地運用了。
參考文獻：
[1] 杜永中.反證法[M].四川：四川教育出版社，1989：20.
[2] 黃志寧.談談反證法[J].福建商業高等專科學校學報，2000，20（4）：24-25.
關鍵詞：反證法；證明；矛盾；應用
中圖分類號：G633.6？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0077-02
在中學數學中，反證法應用相當廣泛。怎樣正確運用反證法是一個難題。本文主要研究的是一些直接證明難以入手甚至無法入手的題目，用反證法就會使證明變得輕而易舉。
一、反證法原理及解題步驟
1.反證法原理。反證法是一種論證方式。它首先假設某命題不成立，然后推出明顯矛盾的結論，從而得出原假設不成立，原命題得證?？偟膩碚f反證法就是通過證明原命題的反面不成立來確定原命題正確的一種證明方法。反證法在中學數學中經常運用。有的問題不易從問題的正面去解答，但若從問題的反面著手卻容易解決，它從否定結論出發，經過正確嚴格的推理，得到與已知假設或已成立的數學命題相矛盾的結果，從而得到原命題的結論是不容否定的正確結論。
2.反證法的解題步驟。在中學數學題目的求解證明過程中，當直接證明一個命題感到困難時，我們經常采用反證法的思想。由此，我們總結出用反證法證明命題的三個步驟：①提出假設：做出與求證結論相反的假設。②推出矛盾：與題設矛盾；與假設矛盾；恒假命題。③肯定結論：說明假設不成立，從而肯定原命題成立。數學問題是多種多樣的，盡管大多問題一般使用直接證明，但有些問題直接證明難度較大，而用反證法證明，卻能迎刃而解。下面我們結合實例總結幾種常用反證法的情況。
二、反證法在中學數學中的應用
反證法雖然是在平面幾何教材中提出來的，但對數學的其他部分內容如代數、三角函數、立體幾何、解析幾何中都可應用反證法。那么，究竟什么樣的命題可以用反證法來證呢？下面就列舉幾種一般用反證法來證比較方便的命題。
1.基本命題?；久}就是學科中的起始性命題，這類命題由于已知條件及能夠應用的定理、公式、法則較少，或由題設條件所能推出的結論很少，因而直接證明入手較難，此時應用反證法容易奏效。
例1 求證：兩條相交直線只有一個交點。已知：如圖，直線a、b相交于點P，求證：a、b只有一個交點。證明：假定a，b相交不只有一個交點P，那么a，b至少有兩個交點P、Q。于是直線a是由P、Q兩點確定的直線，直線b也是由P、Q兩點確定的直線，即由P、Q兩點確定了兩條直線a，b。
與已知公理“兩點只確定一條直線”相矛盾，則a，b不可能有兩個交點，于是兩條相交直線只有一個交點。
2.否定性命題。否定性命題，也就是結論以否定形式出現的命題，即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現的命題，直接證法一般不易人手，而運用反證法能使你見到“柳暗花明又一村”的景象。
3.存在性問題。在存在性問題中，結論若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此來推出矛盾，從而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我們用反證法來證明。
例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求證：a，b，c中至少有一個不小于1。證明：假設a，b，c都小于1，則2x2-2x+3.5
4.無窮性命題。無窮性命題是指在求證的命題中含有“無窮”、“無限”等概念時，從正面證明往往無從下手時，我們常使用反證法。
例3 證明■是無理數。證明：假設■不是無理數，那么■是有理數，不妨設■=■（m，n為互質的整數）， m2=3n2，即有m是3的倍數，又設m=3q（q是整數），代人上式得n2=3q2，這又說明n也是3的倍數，那么m與n都是3的倍數，這與我們假設m、n互相矛盾，■是無理數。
5.唯一性命題。有關唯一性的題目結論以“…只有一個…”或者“……唯一存在”等形式出現的命題，用反證證明，常能使證明過程簡潔清楚。
例4 設0
從而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此與x1≠x2且0
三、應用反證法應該注意的問題
對于同一命題，從不同的角度進行推理，常?？梢酝瞥霾煌再|的矛盾結果，從而得到不同的證明方法，它們中有繁冗復雜，有簡單快捷，因此，在用反證法證明中，應當從命題的特點出發，選取恰當的推理方法。
1.必須正確“否定結論”。正確否定結論是運用反證法的首要問題。
2.必須明確“推理特點”。否定結論導出矛盾是反證法的任務，但出現什么樣的矛盾是不能預測的。一般是在命題的相關領域里考慮，這正是反證法推理的特點。只需正確否定結論，嚴格遵守推理規則，進行步步有據的推理，矛盾一出現，證明即告結束。
3.了解“矛盾種類”。反證法推理過程中出現的矛盾是多種多樣的，推理導出的結果可能與題設或部分題設矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質）相矛盾，可能與臨時假設矛盾，或推出一對相互矛盾的結果等。
反證法是一種簡明實用的數學解題方法，也是一種重要的數學思想。學會運用反證法，它可以讓我們掌握數學邏輯推理思想及間接證明的數學方法，提高觀察力、思維能力、辨別能力，以及養成嚴謹治學的習慣。我認為，只有了解這些知識，在此基礎上再不斷加強訓練，并不斷進行總結，才能熟練運用。
參考文獻：
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[3]張安平.反證法――證明數學問題的重要方法[J].教育教學，2010，1（11）：179-180.
[4]張世強.淺析“反證法”[J].成都教育學院學報，2000，6（06）：09-10.
關鍵詞：反證法；數學教學；應用
反證法是一種重要的證明方法，歷來是教學中的重點和難點。運用反證法有時可以達到簡練又確切的良好效果，可以說，沒有反證法的數學，只是原始、極不完整的數學，因此，深刻的理解反證法的實質，了解這種方法的一般規律，對于提高邏輯思維能力和解決實際問題的能力，有著十分重要的意義。本文通過以下方面來說明反證法在教學中的應用。
一、什么是反證法
反證法是一種間接證明命題的方法。該方法先提出與結論相反的假設，然后以此及其有關的定義、公理、定理、題設為依據，言出有據地導出矛盾的結果，從而證明了與結論相反的假設不能成立，進一步肯定原來的結論必定成立。簡言之，就是從反面人手論證命題的真實性的方法。
反證法具體又分為歸謬法和窮舉法，在反證法中，當命題的結論的反面只有一個時，則只需這種情況就能證明結論正確，這種反證法叫做“歸謬法”。當命題結論的反面有兩種或兩種以上的可能時，則需一一，從而肯定原結論為真，這種反證法叫做“窮舉法”。
二、反證法的證題步驟
運用反證法證題時，一般有下述三個步聚：
（1）反設：就是假設原命題的結論的反面成立。
（2）歸謬：從假設出發，由正確的演繹推理過程，推出與公理，或定義，或與已知定理和公式，或與已知條件，或與假設相矛盾的結果，或所推得的結果自相矛盾。
（3）結論：判斷原命題結論反面不能成立，從而肯定原命題結論成立。
三、宜用反證法證明的命題形式
為了便于運用反證法證題，必須搞清宜用反證法證明的命題所具有的以下幾種常見形式。
待證命題用直接法難于人手時，宜用反證法.如立體幾何中開始的一些性質定理的證明就是如此。
下面再舉一例
例1 如果正實數a，b滿足ab=ba，且a
證：假設a≠b，即ab
ab=bablna=alnb，
這與（1）式相矛盾，故a>b的假設不成立
所以，有a=b
說明：此題用反證法，推出結論與題設相矛盾，并及時地發現矛盾。
四、反證法證題時，應注意的問題
（1）一定要在推理過程中有意地制造矛盾，并及時地發現矛盾。
關鍵詞：反證法；數學；應用
中圖分類號：G630 文獻標識碼：A 文章編號：1003-2851（2013）-10-0310-02
法國數學家達瑪說：“反證法在于表明：若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾?！边@是對反證法精辟的概括。在數學教學中，作為一名教師不僅要重視知識的傳授，更應該重視對學生進行智力開發和能力培養。反證法是突破思維定勢，從相反的方向研究事物的運動，無疑是一種開拓思路的方法，可以增強學生的學習興趣和思維轉換能力，對提高學生的分析問題和解決問題的能力將大有益處。
一、反證法的概念
反證法就是從否定命題的結論出發，經過推理，得出和已知條件或和其他命題相矛盾的結論，或在推理過程中得出自相矛盾的結論，從而達到命題結論正確的數學方法.欲證命題“A是B”，從反面推導“A不是B”不能成立，從而證明“A是B”。它從否定結論出發，經過正確，嚴格的推理，得到與已知（假設）或已成立的數學命題相矛盾的結果，查處產生矛盾的原因，不是由于推理的錯誤，而是開始時否定結論所致，因而原命題的結論是正確的。以上內容可以簡單概括為：反設、歸謬、結論三個步驟。
二、反證法證題的步驟
用反證法證題一般分為三個步驟：
1.反設 假設所要證明的結論不成立，而設結論的反面成立；
2.歸謬 由“反設”出發，根據已知公理，定義，定理等進行層層嚴密正確的推理；
3.結論 在推理過程中出現矛盾，說明反設不成立，從而肯定原結論成立。
下面舉幾個例子來說明數學中是如何應用反證法的。
例1 證明：在ABC中，若sinA
證明 假設∠A不是銳角，則∠A必是直角或者鈍角。
I.如果∠A是直角，則sinA=1
II.如果∠A是鈍角，令∠A=180°-？琢（？琢為銳角）.則sinA=sin（180°-？琢）=sin？琢
由于∠B是銳角，所以a
綜上所述，由I，II可知，∠A必為銳角。
三、反證法中常見的矛盾形式
1.與題設矛盾
例2 若0°
證明 設sinx=cosx，則sin2x=cos2x？圯1-cos2x=cos2x=■.
所以 即x=45，這與0°
從而sinx≠cosx.
2.假設矛盾
例3 已知？琢，？茁為銳角，sin（？琢+？茁）=2sin？琢，，求證？琢
證明 設？琢≥？茁，則2？琢≥？琢+？茁.由于2sin？琢=sin（？琢+？茁）≤1，可得sin？琢≤■，即？琢≤30°.
因此2？琢，？琢+？茁都是銳角.
所以sin（？琢+？茁）≤2sin？琢，即2sin？琢≤sin2？琢.
由此可得：cos？琢>1與假設矛盾.
從而？琢
3.與已知的定義，定理，公理矛盾，即得出一個恒假命題
例4 已知如圖，弦AB，CD都不是直徑，且相交與點P，求證： AB，CD不能互相平分.
證明 假設AB與CD能互相平分，即PA=PB，PC=PD.
又因AB，CD，都不是直徑
所以P點與圓心不重合
故存在線段OP，連接OP
又因PA=PB
所以OPAB（平分弦的直徑垂直與弦）
又因PC=PD
從而OPCD（平分弦的直徑垂直與弦）
這樣，過點P有兩條直線AB，CD都垂直與OP，這與過一點有且只有一條直線與已知直線垂直的公理想矛盾，故AB與CD不能互相平分.
注：有些題看似簡單，但要從正面入手幾乎是不可能的。
4.自相矛盾
例5 如果一個三角形的兩個內角的角平分線相等，則這個三角形是等腰三角形.
已知在ABC中，角平分線CW，CV相等.求證：AB=AC
證明 如右圖，過V與W分別引直線平行于BA與BV，設交點為G，連接CG，分別用？琢，？茁表示，∠ABC，∠ACB的一半，用？茁'，？琢'分別表示∠VCG，∠VGC，則由WG=BV=CW，可知WG=CW，故∠WGC=WCG.即？琢+？琢'=？茁+？茁'.
設AB≠AC，則？茁≠？琢，例如？琢>？茁（如果？茁>？琢，同理），于是由？琢+？琢'=？茁+？茁'得到？琢'>？茁'，故VG>VC，因為VG=BW，所以VC
但在CBV與BCW中，BC=CB，BV=CW，？琢>？茁，故VG>BW，同VG
四、應用反證法證題中應該注意的問題
1.有些幾何問題用反證法證明時，常常把圖形故意作錯，在否定了假設之后，這些圖形就被否定了。
2.反證法中要對結論做全面的否定.尤其要注意的是，遇到“都…”，“所有…”，“任何…”這一類結論，而要否定時，最易犯的毛病是把“不”加到表示“全體”含義的詞后面，犯了否定不全的錯誤。
3.否定結論后要求推理正確無誤，步步有據，并且要真正推出矛盾。由推理本身的錯誤而產生的矛盾，不能作為反證法的依據。
4.在推理過程中必須要用到“已知條件”，否則證明將會出錯。
5.反證法一般無需特意去證某一特定結論，只要由否定結論而導致矛盾即可。
通過以上對于反證法的種種表述，我們知道了反證法在數學解題中有著舉足輕重的作用，它不僅是一種重要的證題方法，而且對于傳統的定向解題的思維模式是一種創新，這更有利于提高數學中提倡的邏輯思維，因此掌握好反證法是非常重要的。
參考文獻
[1]沈文選.初等數學解題研究[M].湖南：科學技術出版社，1996.
[2]李翼忠.中學數學方法論[M].廣東：高等教育出版社，1986.
關鍵詞： 反證法 近世代數 群 環
近世代數是一門較抽象的課程.它的主要研究對象是代數系統，即帶有運算的集合.由于內容抽象，初學者往往會感到困難重重，尤其對于證明，不知如何從哪方面下手.其實，在掌握好它的基本概念、性質和定理的前提下，它所用的思考方式和手段，很多都是數學證明里常用的，如，類比、歸化、轉化、反證等.反證法在近世代數的證明中用途極其廣泛.它在數學命題的證明中有直接證法所起不到的作用，如果能恰當地使用反證法，就可以化繁為簡、化難為易、化不可能為可能.
反證法是分析問題和解決問題的一種科學方法.反證法又叫歸謬法、背理法，是數學中常用的一種命題證明方法.反證法是對數學命題的一種間接證法，其理論依據是形式邏輯中的“排中律”和“矛盾律”.這種方法是從反面進行證明，即肯定題設而否定結論，從而得出矛盾，使命題獲得證明.有關“存在性”、“否定性”、“無限性”的命題，應用反證法的情況較多.在近世代數中，有些問題直接利用定理結論證明或用定義直接驗證較困難時，可考慮使用反證法.本文就子群的階、同構、主理想、素理想四個近世代數中幾個重點難點內容展開討論，希望學生在學習過程中由此能得到點滴啟發.
反證法證題的步驟是：1.反設：反設是應用反證法證題的第一步，也是關鍵一步，反設的結論作為下一步“歸謬”的一個已知條件.反設的意義在于假設所有證明的命題的結論不成立，而結論的反面成立；2.歸謬：“歸謬”是一個用反證法證題的核心，其含義是從命題結論的“反設”及原命題的已知條件出發，進行正確嚴密的推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾或自相矛盾的結果；3.結論：指出“反設”是錯誤的，原命題結論必正確.
1.反證法在子群階中的應用
例1.設p，q是兩個素數，且p
分析：這個結論易通過Sylow定理得到，但[1]中沒有涉及Sylow定理，通過反證法可輕松證得.題目要證明至多存在一個子群，我們可以假設存在兩個不同的子群.
證明：設H，K是群G的兩個不同的q階子群，但由于|H∩K|| |H|=q，且q是素數，故|H∩K|=q或1.
若|H∩K|=q，則由H∩K≤H且H∩K≤K知H∩K≤=H=K，與H≠K矛盾.
注：從這一例題中可以看到，直接說明pq階群G最多有一個q階群難度相當大，但如果假設有兩個不同q階子群，通過推理出現矛盾，則說明最多有一個q階子群.
2.反證法在同構中的應用
同構在近世代數中是一個非常重要的基本概念.如果忽略掉同構的對象的屬性或操作的具體定義，單從結構上講，同構的對象是完全等價的.簡單來說，同構是一個保持結構的雙射.在更一般的范疇論語言中，同構指的是一個態射，且存在另一個態射，使得兩者的復合是一個恒等態射.
換言之，G的乘法表是唯一確定的.因此階為6的非交換群存在且互相同構.
注：這一證明題不是一開始就給予結論否定，而是在證明中部分地方利用了反證法.如|b|≠3.若|b|=3，則在后面的推論中出現矛盾.
3.反證法在環中的應用
例3.證明卡普蘭斯基（Kaplansky）定理：設R是一個有單位元用1表示的環，如果R的元素a有一個以上的右逆元，則a就有無限多個右逆元.
4.反證法在理想中的應用
注：說明極大理想都是素理想，可以假設有一個極大理想不是素理想，根據這一假設推出矛盾.
數學思維方法的訓練是實現“授之以漁”教學舉措的有效手段，我們應該在教學中有意識、有計劃、有目的地利用不同類型的問題，從不同視角、不同途徑分析、思考和探索，幫助學生拓展證題思路，形成良好的數學思維品質.善于反思，巧妙利用反證是解決數學問題的重要方法和策略，不僅能揭示數學知識的內在聯系、規律和相互關系，更能從復雜問題中找到突破口，從而避免繁瑣的證題過程，有效提高學生分析問題和解決問題的能力，培養學生的探索和創新精神.
參考文獻：
[1]張禾瑞.近世代數基礎[M].北京：高等教育出版社，1998.
[2]汪秀羌.反證法的應用[J].工科數學，1997，2：163-166.
[3]唐娜.淺談如何加強大學素質教育[J].學園，2010，12：25-26.
一、“反證法”在初中教材中的解讀
“反證法”在初中數學教材中，雖然并不是作為基本技能要求學生掌握，但處處有所滲透，并逐步提高要求。如蘇科版七年級下冊第7章“平面圖形的認識（二）”中，課本編寫“讀一讀” ――怎樣證實“兩直線平行，同位角相等”，運用了反證法。這里已經逐步揭示反證法的基本思路：“反設歸謬存真”。
八年級下冊第九章中，提出了一個用“反證法”解決的簡單問題，并對反證法給出了明確的定義：先提出與結論相反的假設，然后由這個“假設”出發推導出矛盾的結果，說明假設是錯誤的，因而命題的結論成立。讓學生了解了反證法的基本步驟、體會反證法在解決問題中的作用。
由此看來，考慮到學生的年齡特征，對于“反證法”，在初中教材中的安排是謹慎而又循序漸進的，它是對提高學生邏輯推理能力、數學思辨能力的一個補充，在思維方式上給學生以新的思路和啟發。
二、“反證思想”滲透教學，培養學生數學思辨能力
數學思辨能力，即數學思考辨析問題的能力，包括分析、推理、判斷、解決問題。良好的思辨能力體現在對問題的分析和結論進行層次分明、條理清晰的解釋和論證，具有較強的邏輯性。而“反證思想”是“反證法”中蘊含的逆向思維方式在問題解決中的應用。借用“反證思想”還能幫助學生能夠在千變萬化的數學問題，突破傳統單一的解題思路，創新解決新方法，進一步深化對知識本質的理解。
（一）從簡單問題入手，使學生了解“反證法”的基本思路和一般步驟
初中數學知識中包含很多定理、定義等，一些定理或者初始命題難以發現直接證明的論據。從簡單問題入手，使“反證法”為學生提供新的解題思路。讓學生了解它的基本思路和一般步驟，從而能觸類旁通、靈活地解決問題。
例1：求證：在一個三角形中最多有一個鈍角。
第一步，反設――假設問題的反面成立。假設一個三角形中有兩個（或三個）鈍角。
第二步，歸謬――從假設出發得出與已知條件、定義、定理或基本事實相矛盾的結果。那么這兩個（或三個）鈍角的和大于180°，這與“三角形的內角和等于180°”相矛盾，
第三步，存真――假設，說明假設不成立，原命題成立。所以假設不成立，所以“一個三角形中最多有一個鈍角”。
關鍵詞： 反證法 邏輯原理 應用
一、三段論的格
作為一門古老的學科，邏輯已有兩千多年的歷史。所謂邏輯就是一種能夠保留預設真值的推理方法。作為邏輯的基礎，我們當然不能忘記亞里士多德和他的三段論。然而關于三段論人們還是廣泛存在著誤解。
通常人們所言的三段論并非完全意義上亞里士多德的理論，就如同中學課本中的幾何公理化體系與《幾何原本》相差甚遠一樣，生活中最常見的三段論只是亞里士多德所劃分的二十四個式中的一種形式，而亞里士多德的成就更多體現在《后分析篇》中關于公理化的研究，這一點離大眾過于遙遠，在此不作討論。
更重要的是，人們對于直言三段論的基本形式過于忽略，而這種形式對推理有決定性的作用，請看下面兩個例子。
推理1 推理2
所有植物都需要水 所有植物都需要水
三葉草是植物 三葉草需要水
所以三葉草需要水 所以三葉草是植物
這兩個推理都正確嗎？盡管前提都正確，結論就常識而言也沒有錯，但是從邏輯角度看，推理2是錯誤的，因為從“三葉草需要水”推出“三葉草是植物”其實證據不足，如推理1所示，正確的推理形式是這樣的：
1.所有B是A
2.并且所有C是B
3.那么所有C是A
這就是基本的邏輯定理，其中1、2稱為前提，3稱為結論。正確的形式為前提1的主項是前提2的謂項，其余詞項組成結論，此時前提的真值必然決定結論的真值。這種形式稱為三段論的格，用Venn表示如圖1，C是A的子集是很明顯的。
圖1
反觀推理1與推理2，我們在應用三段論時一定要嚴謹。其實很多結論不嚴密的推理大多都犯有詞項位置的錯誤。
二、反證法的原理
反證法是一種簡單卻又行之有效的證明方法，從其創立至今就一直被廣泛使用。它的優點是，即使不知道怎樣直接證明，也能辨別該命題的真偽。最基本的事實便是，一個命題的反命題導致了矛盾，則原命題是正確的。
在反證法中，我們把待證的結論的反面作為一個前提，依據正確的三段論原理推理，并最終尋找出與現實的直觀矛盾或于理不符之處。而結論的真假由前提而定（前文已論述），這個矛盾說明假設有誤，因此它的反命題（即待證命題）是正確的。
三、反證法在中學階段的應用
以上敘述了邏輯推理的基礎和反證法的原理，下面是關于反證法應用的討論。
中學階段中，反證法在幾何中的應用并不多見。然而，平面幾何中的反證法卻妙不可言，它們精妙的構思令人贊嘆，阿基米德甚至用此法證明了圓的面積計算公式。在此我摘錄《原本》中的一個命題為反證法的一個例子。
如果兩圓相交，那么它們不能有相同的圓心。
設：圓ABC與圓CDG相交與B、C兩點（如圖）。
證明：假設有相同的圓心為E，連接EC，任意連一條線EFG，
因為G為圓ABC的圓心，所以EC等于EF，
又因為E為圓CDG的圓心，所以EC等于EG，
所以EG等于EF。
于是部分大于整體（違背第5公理）這不可能。
所以：E不是圓ABC、CDG的圓心。
所以：兩圓相交不可能有圓，證完。
另一個例子來自圖論，有過競賽經歷的人對此模型是非常熟悉的。
兩人或兩人以上的人群中，人們互相與熟人握手，那么至少兩個人的握手次數相同。
證明：以人為頂點，僅當兩個人握手時，在此二人間連一邊，構成一個圖G（V，E），設V=［V，V，…，V］，不妨設各項的度數為d（v）≤d（v）≤…≤d（v），
若等號皆不成立，則有d（v）＜d（v）＜d（v）＜…＜d（v），
（1）若d（v）=n-1，則每個頂點皆與v相鄰，于是d（v）≥1，
所以d（v）≥2，…，n，d（v）≥n與d（v）=n-1相違.
（2）d（v）＜n-1，由于d（v）＜d（v）＜…＜d（v），且d（v）≥0，d（v）≥1，d（v）≥2…d（v）≥n-1，與d（v）＜n-1相違，故假設不成立，所以d（v）≤d（v）≤…≤d（v），其中至少有一處等號成立，即至少兩個人握手次數相同，證完。
通過兩個例子的展示，反證法行之有效的特點一目了然。不過反證法構造的技巧性是有難度的。因此我在這里總結中學數學中反證法的常用場合。
（1）命題以否定形式出現；
（2）唯一性的命題；
（3）命題結論中有“至多”，“至少”的形式；
關鍵詞：高中數學 逆向思維能力 培養途徑
數學是一門注重培養學生思維的學科。《高中數學課程標準》中明確指出：“數學思維能力在形成理性思維中發揮著獨特的作用，要注重對數學本質的理解和思想方法的把握?！遍L期的實踐表明，如果按部就班的對學生進行引導，會導致學生形成思維定式。而有意識的對學生進行逆向思維的訓練，有利于幫助學生轉變錯誤的觀念，形成正確認知，而且有利于幫助學生發展創新思維。本文結合筆者多年的教學實踐經驗，就“高中數學教學逆向思維能力的培養”這一課題淺談如下自己的看法。
一、什么是逆向思維
所謂逆向思維，是一種創造性思維，它是指與原先思維相反方向上的思維。相對正向思維而言，它是與人們常規思維程序相反的，不是從原因（或條件）來推知結果（或結論），而是從相反方向展開思路去分析問題、得出結論。
逆向思維就是突破習慣思維的束縛，做出與習慣思維方向相反的探索。如果學生有逆向思維的能力，采用這種思維去解決問題，就很容易找到解題的突破口，尋找到解題的方法和恰當的路徑，使解題過程簡潔而新穎，逆向思維不僅可以加深對原有知識的理解，還可以從中發現一些新的規律，或許會創造出更新更好的方法。在數學教學中有目的地設汁一些互逆型問題，能從另一個角度去開闊學生的思路，就會促使學生養成從正向和逆向兩個方面去認識、理解、應用新知識的習慣，從而提高學生分析問題和解決問魎的能力。
二、高中數學教學逆向思維能力的培養途徑
1.在數學概念教學中訓培養逆向思維。高中數學中的概念、定義總是雙向的，不少教師在平時的教學中，只注意了從左到右的運用，于是形成了思維定勢，對于逆用公式法則等很不習慣。因此在概念的教學中，除了讓學生理解概念本身及其常規應用外，還要善于引導啟發學生反過來思考，從而加深對概念的理解與拓展。
2.在解題教學中的培養逆向思維。解題教學是培養學生思維能力的重要手段之一，因此教師在進行解題教學時，應充分進行逆向分析，以提高學生的解題能力。
（1）順推不行則逆推。有些數學題，直接從已知條件入手來解，會得到多個結論，導致中途迷失方向，使得解題無法進行下去。此時若運用分析法，從命題的結論出發，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解題途徑。
（2）直接不行換間接。還有一些數學題，當我們直接去尋求結果十分困難時，可考察問題中的其他相關元素從而間接求得結果。
3.利用反證問題培養逆向思維。反證法實質上是證明命題的逆否命題成立，即當命題由題設結論不易著手時，而改證它的逆否命題，是從題斷的反面出發，以有關的定義、定理、公式、公理為前提，結合題設，通過推理而得出邏輯矛盾。從而得知題斷的反面不能成立。應用反證法證明的主要三步是：否定結論一推導出矛盾一結論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。
在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“無限”形式出現的命題；或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。
4.強化學生的逆向思維訓練。一組逆向思維題的訓練，即在一定的條件下，將已知和求證進行轉化，變成一種與原題目相似的新題型。在研究、解決問題的過程中，經常引導學生去做與習慣性思維方向相反的探索。其主要的思路是：順推不行就考慮逆推；直接解決不了就考慮間接解決；從正面入手解決不了就考慮從問題的反面入手；探求問題的可能性有困難就考慮探求其不可能性。
5.靈活運用基本數學方法，促進逆向思維發展。
（1）分析法是從結論出發“執果索因”，步步尋求結論成立的充分條件，它只要求每相鄰的兩個論斷中，后一個是前一個的充分條件（不一定等價），用分析法思考，要論證的結論本身就是出發點，學生知道了應從什么地方著手，能自覺地、主動地去思考，學生的解決問題的信心便大大增強了。“由因導果”的方法通常稱為綜合法。分析法和綜合法各有千秋，可以互相彌補對方的不足。在實際論證一個命題時，先用分析法思考發現可以作為論證出發點的真命題，再用綜合法表達出證明過程，兩者配合起來，在教學中運用十分廣泛，且分析法常用于不等式和恒等式的證明。
（2）逆證法雖然也是從結論出發，但它與分析法還是有區別的，逆證法要求推理過程中，任何兩論斷都互為充要條件，逆證法首先對不等式或恒等式進行變形，逐步推出一個已知的不等式或恒等式，這比較直截了當，檢查這些變形是可逆的并不困難，但在一般情況下使用逆證法并不省事，應讓學生重點掌握分析法。
參考文獻：
[1]韋德奉.淺析高中數學教學中的逆向思維[J].高中數理化，2011，（10）.
