時間：2023-09-08 09:29:06
緒論：在尋找寫作靈感嗎？愛發表網為您精選了8篇分數乘除法的規律，愿這些內容能夠啟迪您的思維，激發您的創作熱情，歡迎您的閱讀與分享！
關鍵詞：思維；概念發展；乘除法意義
眾所周知，數學概念本身有著嚴密的體系，且總是隨著客觀事物本身的發展變化和研究的深入不斷地發展演變。學生對數學概念的認識，也需要隨著數學學習的程度的提高，由淺入深，逐步深化。因此，教師必須處理好概念自身的連續性和學生學習的階段性之間的矛盾，隨著數學學習的深入，關注學生對同系概念含義的更新與重構，使概念趨于完善。然而現實中，教師往往比較注重概念的階段性學習，而忽視了在后續教學中的關聯、更新與重構，造成概念順應上的“脫節”，使學習效果大打折扣。下面以“乘除法意義的發展”為例，通過列舉學生在解決小數、分數乘除法問題時的常見錯誤，分析學生在學習乘除法意義時的思維過程，進而提出改進策略。
一、問卷引發的思考
筆者曾對五六年級學生作了一項問卷調查，了解學生對乘除法意義的掌握及相應的解決問題能力。為了便于比較，問卷以題組形式呈現：
題組1：
一種餅干的售價為每千克15元，3千克這樣的餅干售價是多少？
一種餅干的售價為每千克15元，0.3千克這樣的餅干售價是多少？
題組2：
2升桔汁的售價為8元，每升桔汁的售價是多少？
升桔汁的售價為4元，每升桔汁的售價是多少？
題組3：
某種農藥2千克加水稀釋后可噴灑1公頃麥地，噴灑6公頃麥地需要多少千克農藥？
某種農藥 千克加水稀釋后可噴灑1公頃麥地，噴灑 公頃麥地需要多少千克農藥？
應該說，這種以相同的數學結構出現的問題是很有暗示性的，且題目本身也相當基礎，然而問卷結果卻表現出了明顯的差異：40位被測學生中，每項題組中的第一題綜合正確率高達98.3%，而第二題的綜合正確率僅為67.5%。這說明，學生對第一學段學習的乘除法問題掌握較好，進入第二學段卻暴露出了明顯的問題。具體看學生的錯誤類型，多是不知道該選擇乘法還是除法來解決相應的問題，或是選擇了除法，但不知將哪個數當被除數（如題組2第二題，很多學生用4× 或 ÷4來解決）。筆者以為，此類問題的存在固然可以從數量關系教學這一角度去分析，但這不應被等同于學生的實際思維過程，只有立足于學生已有的知識經驗，探求已有經驗對學生產生的影響及數域擴展后給學生帶來的乘除法學習障礙，才能真正厘清學生的思維走向，進而對癥下藥。
二、分析與詮釋
毫無疑問，在乘除法教學中，意義的教學是首要的?？v觀整個小學階段，乘除法意義實際上呈現不斷發展的特點，這同時又可看成一個更為漫長的發展過程（如負數、無理數等概念引進后的擴展）中的一個環節。從宏觀的角度看，二年級的乘除法意義學習階段性十分明顯，教師無疑會限于并強調“同數連加”的意義，這時學生所形成的內在表征就會有較大的局限性。特別是，由于學生在開始學習乘除法時所接觸到的都是比較簡單的情況，也即主要局限于正整數的乘除，從而就很容易形成以下的觀念：“乘法總是使數變大，除法則總是使數變??；乘除法中各部分都是整數?！钡搅说诙W段，數概念得到了進一步擴展，此時教師更多關注計算本身，對于乘除運算意義一般都只是寥寥數語帶過，或簡單地以“與整數乘除法意義相同”過場，而恰恰忽視了乘除運算意義在新數域的推廣過程及所獲得的新的含義，以乘法為例，增加了“已知整體求部分”，如“6的 是多少？”，相應的除法則是“求取整體”，即如“已知一個數的 是4，求這個數？”
顯然，從這樣的角度去分析，前面所提及的錯誤的發生也就不足為奇了，因為，這在很大程度上反映了這樣的現實：第一組中，學生依據直覺意識到第二個問題的答案應小于15，進而，按照他們已建立的觀念，乘法總是使數變大，而只有除法才能使數變小，因此，選擇了除法；第二組中出現了分數，而學生頭腦中的乘除法各部分應是整數，所以一下子就變得茫然，即便正確選擇了除法，也不知該將哪個數放在前面；第三組第二題則是與學生之前建立的“同數連加”的乘法意義相沖突，因為這時分數的乘法顯然已不能看成“重復的加法”，而是“求一個數的幾分之幾是多少”，因此就容易出錯。
事實上，以上盡管通過分析學生思維找到了其錯誤的根源，但我們也應看到這種錯誤的“合理性”，站在學生的角度，他們不過是將僅僅適用于正整數乘除的某些“規律”錯誤地推廣到了正有理數的情況，這當然應當被看成學生思維發展的一個必然過程。關鍵是，作為教師應清楚地認識學生在乘除法意義學習中的局限性和困難，采取適當的措施引導學生較為自覺地去實現對乘除法意義的必要的推廣與更新。
三、小學階段發展乘除法意義的策略研究
（一）豐富原型，加深對意義的多角度理解
格里爾在“作為情境模型的乘除法”一文中指出：為了使純形式的推廣在直觀上能夠被接受，必須輔以一些具體情境，在其中所說的推廣可以被認為十分必要和完全合理的。對于乘除法意義本身而言，其內容是很枯燥的，但它植根于現實的沃土，意蘊豐富。在第二學段的教學中，我們仍應牢牢把握情境這條主線，實現乘除法意義的內涵發展。
在小學階段，乘除法意義大致有以下幾種：
（1）等量組的聚集。即通常所說的“連加”。在這一情境下，兩個因數的地位并不相同，也就是過去所說的“每份數”、“份數”，從而，也就有兩種不同的除法逆運算，即通常所說的“平均分”、“包含除”。
（2）倍數問題。
（3）配對問題。
（4）長方形的面積。
這幾種原型在第一學段均已出現，但在學生頭腦中的印象是淺顯的、零散的，僅限于正整數，且并未形成對乘法意義的階段性完整認識。隨著學生數概念的發展，相應的乘法意義應與其相互促進。在教學中，教師仍應努力豐富學生頭腦中的乘除法意義原型，提高其對意義的表征能力。
如在五上“小數乘法”單元，筆者設計了這樣一道題：請用你喜歡的情境表達“1.3×5”的意義。
經過充分的思考、討論、交流，學生中產生很多想法：有的編制了購物、長度、質量、面積等數學問題，有的畫實物圖或線段圖，有的用文字或加法算式直接說明。作品很多，但均從不同角度反映了不同個體對乘法意義在小數域中的認識表征。此時，我不失時機地引導學生對作品進行歸類，尋找異同，理解作品背后所表示的意義。學生在整理后發現：1.3×5既可以表示5個1.3（等量組的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍數問題），還可以用在面積計算中等。也正是在這樣的交流共享中，學生原先停留在正整數領域中的乘法意義有了進一步的發展，在豐富的原型中體會到乘法意義在小數領域的本質推廣與延伸。
（二）制造沖突，促進學生對概念的主動更新
建構主義認為，對于學生在概念學習中發生的錯誤不應單純依靠正面的示范和反復練習去糾正，而應以引發主體內在的“觀念沖突”為必要前提，使其經歷“自我否定”的過程。高年級學生正處于形象思維向抽象思維發展的過渡階段，已經具備一定的思考能力，如果教師只是簡單地將乘除法意義“教”給學生，缺少學習主體的自我內化過程，那么概念的發展就如浮光掠影。因此，教師應創設能引發學生概念沖突的情境，引燃學生思維的火花，引導學生主動對先前的乘除法意義的認識作出必要的調整，將新的含義悅納到已有的知識體系中。
以分數乘法的教學為例，一位教師在教學中出現這樣一組情境：
（1）我的繩子長 米，小明的繩長是我的3倍，小明的繩子有多長？
（2）我的繩子長3米，小明的繩長是我的 ，小明的繩子有多長？
引導學生通過畫圖、討論得出算式，反饋時，教師適時追問：都是 ×3，表示的意義相同嗎？這就引發學生的思維沖突：如果說第一題可用“3個 ”解釋，那么后一題顯然不能，這題的意義又該怎樣表述？這樣，在對同一算式不同含義的挖掘中，學生很直接地感受到只用以前的“同數連加”的乘法意義已不足以解釋分數乘法出現的新問題，產生了認知沖突，有了擴展新含義的需要。
在此基礎上，教師及時引導學生對第二題的算式意義進行研究，注意其發展變化。并指出在引入分數以后，“倍”的概念發展了，既包含了原來的“整數倍”、“小數倍”，也包括了這節課所學的“一個數的幾分之幾是多少”。這樣，學生經歷了“沖突——建構——順應”的學習過程，新概念的融入便不再是教師強加，而是主動的更新與順應。
（三）提取本質，引導學生轉換關注視角
前文的分析中曾提及，學生在數域擴展后，容易將在整數乘除法意義學習中的一些“規律”錯誤地推廣到小數、分數乘除法學習中，繁雜的數據構成了學生在學習小數、分數乘除法中的一大障礙。面對新題目，學生往往更多地關注情境中所包含的數量，而不注意其中的文字內容，以及內容背后的運算意義。對此，教師不妨立足學生的思維方式，化繁為簡，抓住本質，以此修正認識誤區。
基于這樣的思考，筆者在實踐中進行了嘗試。以分數的除法意義教學為例，教材在編排中已經考慮到了學生的學習困難，采用由整數乘除法改編數據后過渡到分數乘除法的方式，幫助學生理解“分數除法的意義與整數除法的意義相同”，即“分數除法是分數乘法的逆運算”。從表面上看，學生通過舊有知識已經促成了新知理解，而事實上，學生此時的理解僅僅是在特定題組中的，脫離題組這根“拐杖”，學生又會受到數據的干擾。因此，我緊接著出示了一組題，要求學生只列式不計算：
（1）把 平均分成2份，每份是多少？
（2） 里面有幾個1/5？
（3）10是 的幾倍？
（4）一個數的是 是8，這個數是多少？
（5）兩個因數的積是 ，其中一個因數是 ，另一個因數是幾？
可以發現，這組題雖然脫離了具體的情境，但都直指除法意義本身。在學生列式后，我追問：你是憑什么選擇用除法計算的？是否用除法計算，與題目中的數據有關嗎？這時，學生就會走出情境，思考題目背后的意義，思考自己選擇的初衷?！胺謹党ǖ囊饬x與整數除法相同”，但具體表現在哪些地方呢？“平均分”、“包含除”、“倍數問題逆運算”、“已知部分求整體”等，這些都是除法意義在具體問題中的結構本原。學生知道了這一點，也就能避開數據產生的干擾，而更關注于問題本身的含義，將視角從“關注數據”轉換到“關注意義”中來，進而，在面對復雜的情境、復雜的數據時，能以運算意義為依托，將問題簡化。
綜上所述，小學階段乘除法意義的教學應著力在階段性與發展性之間尋求平衡。換言之，對于任何數學概念的教學，教師都要立足于學生的思維狀態，關注其對概念的不斷更新、發展、重構，及時排除概念發展中的障礙，從而達成概念教學效果的最大化。
參考文獻：
一、問卷引發的思考
筆者曾對五、六年級學生作過一項問卷調查，了解學生對乘除法意義的掌握及相應的解決問題能力的情況。為了便于比較，問卷以題組形式呈現。
題組1：
一種餅干的售價為每千克15元，3千克這樣的餅干售價是多少？
一種餅干的售價為每千克15元，0.3千克這樣的餅干售價是多少？
題組2：
2升橘汁的售價為8元，每升橘汁的售價是多少？
升橘汁的售價為4元，每升橘汁的售價是多少？
題組3：
某種農藥2千克加水稀釋后可噴灑1公頃麥地，噴灑6公頃麥地需要多少千克農藥？
某種農藥千克加水稀釋后可噴灑1公頃麥地，噴灑公頃麥地需要多少千克農藥？
應該說，這種以相同的數學結構出現的問題是很有暗示性的，且題目也是一些基礎題，然而問卷結果卻表現出了明顯的差異：40位被測學生中，每項題組中的第一題綜合正確率高達98.3%，而第二題的綜合正確率僅為67.5%。這說明，學生對第一學段學習的乘除法問題掌握得較好，進入第二學段卻暴露出了問題。具體看學生的錯誤類型，都是不知道該選擇乘法還是除法來解決相應的問題，或是選擇了除法，但不知哪個數是被除數（如題組2第二題，很多學生用4×或÷4來解決）。筆者以為，此類問題的存在固然可以從數量關系教學這一角度去分析，但這不應被等同于學生的實際思維過程，只有立足于學生已有的知識經驗，探求已有經驗對學生產生的影響及數域擴展后給學生帶來的乘除法學習障礙，才能真正厘清學生的思維走向，進而對癥下藥。
二、分析與詮釋
毫無疑問，在乘除法教學中，意義的教學是首要的。縱觀整個小學階段，乘除法意義實際上呈現了不斷發展的特點，這同時又可看成一個更為漫長的發展過程中的一個環節（如負數、無理數等概念引進后的擴展）。從宏觀的角度看，二年級的乘除法意義學習階段性十分明顯，教師無疑會限于并強調“同數連加”的意義，這時學生所形成的內在表征就會有較大的局限性。特別是由于學生在開始學習乘除法時所接觸到的都是比較簡單的情況，也即主要局限于正整數的乘除，從而就很容易形成以下觀念：“乘法總是使數變大，除法則總是使數變??；乘除法中各部分都是整數。”到了第二學段，數概念得到了進一步擴展，此時教師更多關注的是計算本身，對乘除法運算意義一般都只是寥寥數語帶過，或簡單地以“與整數乘除法意義相同”走過場，而恰恰忽視了乘除法運算意義在新數域的推廣過程及所獲得的新的含義。以乘法為例，增加了“已知整體求部分”，如“6的是多少”，相應的除法則是“求整體”，如“已知一個數的是4，求這個數”。
顯然，從這樣的角度去分析，前面所提及的錯誤的發生也就不足為奇了，因為這在很大程度上反映了這樣的現實：題組1中，學生依據直覺意識到第二個問題的答案應小于15，進而，按照他們已建立的觀念，乘法總是使數變大，而只有除法才能使數變小，因此，選擇了除法；題組2中出現了分數，而學生頭腦中的乘除法各部分應是整數，所以一下子就變得茫然，即便正確選擇了除法，也不知該將哪個數放在前面；題組3第二題則是與學生之前建立的“同數連加”的乘法意義相沖突，因為這時分數的乘法顯然已不能看成“重復的加法”，而是“求一個數的幾分之幾是多少”，因此就容易出錯。
事實上，盡管通過分析找到了學生思維出錯的根源，但也應看到這種錯的“合理性”，站在學生的角度，他們不過是將僅僅適用于正整數乘除的某些“規律”錯誤地推廣到了正有理數中運用，這當然應當被看成是學生思維發展的一個必然過程。關鍵是，作為教師應清楚地認識到學生在乘除法意義學習中的局限性和遇到的困難，采取適當的措施引導學生較為自覺地去實現對乘除法意義的必要的推廣與更新。
三、小學階段推廣乘除法意義的策略
（一）豐富原型，加深對意義的多角度理解
對于乘除法意義本身而言，其內容是很枯燥的，但它植根于現實的沃土，意蘊豐富。在第二學段的教學中，教師仍應牢牢把握情境這條主線，實現乘除法意義的內涵發展。
在小學階段，乘除法意義大致有以下幾種。
1.等量組的聚集。即通常所說的“連加”。在這一情境下，兩個因數的地位并不相同，也就是過去所說的“每份數”“份數”，因此，也就有了兩種不同的除法逆運算，即通常所說的“平均分”“包含除”。
2.倍數問題。
3.配對問題。
4.長方形的面積。
這幾種原型在第一學段均已出現，但在學生頭腦中的印象是淺顯、零散的，僅限于正整數，且并未形成對乘法意義的階段性完整認識。隨著學生數概念的發展，相應的乘法意義應與其相互促進。在教學中，教師仍應努力豐富學生頭腦中的乘除法意義原型，提高其對意義的表征能力。
如在五年級上冊“小數乘法”單元中，筆者設計了這樣一道題：請用你喜歡的情境表達“1.3×5”的意義。
經過充分的思考、討論、交流，學生中產生了很多想法：有的編制了購物、長度、質量、面積等數學問題，有的畫實物圖或線段圖，有的用文字或加法算式直接說明。作品很多，但均從不同角度反映了不同個體對乘法意義在小數領域中的認識表征。此時，筆者不失時機地引導學生對作品進行歸類，尋找異同，理解作品背后所表示的意義。學生在整理后發現：1.3×5既可以表示5個1.3相加（等量組的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍數問題），還可以用在面積計算中等。也正是在這樣的交流共享中，學生原先停留在正整數領域中的乘法意義有了進一步的發展，在豐富的原型中體會到乘法意義在小數領域的推廣與延伸。
（二）制造沖突，促進學生對概念的主動更新
建構主義者認為，對于學生在概念學習中發生的錯誤不應單純依靠正面的示范或反復練習去糾正，而應以引發主體內在的“觀念沖突”為必要前提，使其經歷“自我否定”的過程。高年級學生正處于形象思維向抽象思維發展的過渡階段，已經具備一定的思考能力，如果教師只是簡單地將乘除法意義“教”給學生，缺少學習主體的自我內化過程，那么概念的發展就如浮光掠影。因此，教師應創設能引發學生概念沖突的情境，引燃學生思維的火花，引導學生主動對先前的乘除法意義的認識作出必要的調整，將新的含義引入到已有的知識體系中。
以分數乘法的教學為例，一位教師在教學中展示這樣一組情境：
（1）我的繩子長米，小明的繩長是我的3倍，小明的繩子有多長？
（2）我的繩子長3米，小明的繩長是我的，小明的繩子有多長？
引導學生通過畫圖、討論得出算式，反饋時，教師適時追問：都是×3，表示的意義相同嗎？這就引發了學生的思維沖突：如果說第一題可用“3個”解釋，那么后一題顯然不能，這題的意義又該怎樣表述？這樣，在對同一算式不同含義的挖掘中，學生很直接地感受到只用以前的“同數連加”的乘法意義已不足以解釋分數乘法中出現的新問題，產生了認知沖突，有了擴展新含義的需要。
在此基礎上，教師及時引導學生對第二題的算式意義進行研究，注意其發展變化，并指出在引入分數以后，“倍”的概念發展了，既包含了原來的“整數倍”“小數倍”，也包括了這節課所學的“一個數的幾分之幾是多少”。這樣，學生經歷了“沖突―建構―順應”的學習過程，新概念的融入便不再是教師強加，而是主動的更新與順應。
（三）提取本質，引導學生轉換關注視角
前文的分析中曾提及，學生在數域擴展后，容易將在整數乘除法意義學習中的一些“規律”錯誤地推廣到小數、分數乘除法學習中，繁雜的數據構成了學生在學習小數、分數乘除法中的一大障礙。面對新題目，學生往往更多地關注情境中所包含的數量，而不注意其中的文字內容，以及內容背后的運算意義。對此，教師不妨立足學生的思維方式，化繁為簡，抓住本質，以此修正認識誤區。
基于這樣的思考，筆者在實踐中進行了嘗試。以分數的除法意義教學為例，教材在編排中已經考慮到了學生的學習困難，采用由整數乘除法改編數據后過渡到分數乘除法的方式，幫助學生理解“分數除法的意義與整數除法的意義相同”，即“分數除法是分數乘法的逆運算”。從表面上看，學生通過已有知識已經促成了對新知的理解，而事實上，學生此時的理解僅僅是在特定題組中，脫離了題組這根“拐杖”，學生又會受到數據的干擾。因此，筆者緊接著出示了一組題，要求學生只列式不計算。
（1）把平均分成2份，每份是多少？
（2）里面有幾個？
（3）10是的幾倍？
（4）一個數的是8，這個數是多少？
（5）兩個因數的積是，其中一個因數是，另一個因數是幾？
分數、百分數乘法、除法應用題在小學數學應用題教學中占有相當重要的地位，也占有相當大的比例，在日常生活和生產建設中也有著廣泛的應用，是小學數學教育教學中重要的一部分內容。其特點和解題方法表現為：
題目的抽象性、復雜性和題型的多樣性。
分數應用題雖然復雜多變，但不外乎有這樣兩種類型：一是：或×或÷；二是：×、÷號的后面或（1+分率）或（1-分率）。究竟什么情況下用乘法，什么情況下用除法的關鍵是找準單位“1”。分數應用題中單位“1”是有規律可循的，為了幫助學生記憶和理解，我編了幾句順口溜：
做題先把“1”來找，加減乘除分清好；是、比、占、相當于，前后詞語要分清。前是比較，后“標準”，知“1”用乘，求“1”除，乘除關系要弄清。無論是乘還是除，數據分率要對應。這里的“1”，就是單位“1”，也就是“標準量”比較就是比較量。
在有分率句子中的“是”“比”“占”“相當于”等詞語后面的量，即是表示單位“1”的量，“的+分率”前是單位“1”，也可以用“的字前、比字后”來判別單位“1”。
一、運用比較法，訓練形象思維，豐富感知
小學生由于生活接觸面窄，社會實踐經驗少，感性知識比較貧乏，空間想象力差，采用比較的方法進行教學，可使學生對感性知識獲得較深刻的印象。如在教學毫米和分米的認識（人教版小學數學第五冊）時，因為學生已經認識了“1厘米”，為了使學生對“1毫米、1分米”有比較正確的認識，可以讓學生拿著尺子，對著“1毫米”和“1厘米”的刻度進行比較，再拿“1分米”和“1厘米”比較，然后讓學生用手勢表示出“1毫米”“1厘米”和“1分米”的長度，最后讓學生填空：課桌寬大約是60（），一塊橡皮的長大約是30（），數學教本的長度大約是2（）。通過這樣的比較，學生對這些長度單位就有了比較深刻的印象。同樣，用比較的方法教學面積單位、體積單位，也會取得很好的教學效果。
二、運用比較法，理解內涵，掌握概念
為了使學生正確地理解和掌握概念，就要揭示概念的本質屬性，充分理解其內涵，而對事物進行比較是揭示概念本質屬性和理解內涵的重要學習方法。如教學“整除”這個概念時，讓學生對一些除法算式進行比較，如16÷8=2，9÷6=1.5，9÷1.5=6，10÷3=3……1，知道單有“商是整數而沒有余數”這個條件，還不能判斷一個數能被另一個數整除，還必須有“被除數和除數都是整數”這個條件才行。通過比較，學生正確地理解了整除的含義。再如教學“求比值”和“化簡比”，要從意義、方法和結果三方面進行比較，“求比值”也就是求商，而“化簡比”是把一個比較復雜的比化成一個最簡單的整數比；“求比值”和“化簡比”的方法可以通用，都可以用除法計算；“求比值”和“化簡比”的結果是不同的，“求比值”的結果是一個“數”，可以寫成分數、小數，有時能寫成整數，而“化簡比”的結果則是一個“比”，可以寫成真分數或假分數的形式，但是不能寫成帶分數、小數或整數。比較以后，學生才能充分理解“求比值”和“化簡比”的內涵。
三、運用比較法，新舊知識聯系，形成知識網絡
在教學一個新知識點時，如果能與以往學過的舊知識相聯系，進行比較，弄清新舊知識的聯系與區別，不但容易學會新知，還鞏固了舊知，并且使知識系統化，形成知識網絡。如教學“比的意義”時，將“比”“除法”和“分數”進行比較，可列表如下：通過這樣比較，使學生明確比和除法分數的關系和區別，把比、除法、分數聯系起來，形成知識網，為后面學習“比”的應用打下基礎。
四、運用比較法，區別應用題的結構
正確選擇解法在應用題的教學中，經常應用比較的方法來區別應用題的結構，以便分析數量關系，選擇正確的解題方法。如低年級的加減法應用題、乘除法應用題、高年級的分數乘除法應用題。如教學應用題：（1）池塘里有12只鴨和4只鵝，鵝的只數是鴨的幾分之幾？（2）池塘里有12只鴨，鵝的只數是鴨的13，池塘里有多少只鵝？（3）池塘里有4只鵝，正好是鴨的只數的13，池塘里有多少只鴨？通過比較，學生知道了應用題在結構上的相同點和不同點，使他們懂得第（1）題，根據分數的意義和分數與除法的關系，要用除法來計算。第（2）題，根據一個數乘分數的意義，用乘法計算。第（3）題，根據一個數乘分數的意義，列方程解答，或根據除法的意義直接用除法計算。通過比較，使學生了解了分數乘除法應用題的結構和思路的異同，從而能正確解答分數乘除法應用題。
五、對比練習，異同結合
學習新課之后，不僅要集中練習所學的內容，還要練以前學過的內容，特別要練習與新學內容相似而容易混淆的題目，使學生既能深刻理解新的知識，又能掌握新舊知識之間的“同”和“異”，區別應用。如練習“歸一應用題”，應帶練“歸總應用題”；學完“連除應用題”后的練習，也應有“連乘應用題”的題目。通過比較它們的解題思路，明確它們之間的相互聯系，可使各個零碎的知識串成線、聯成網，從而構建起完整的知識結構。這樣的對比練習也便于學生辨別和鞏固所學的數學知識，培養學生分析問題、靈活運用知識解決實際問題的能力。
六、運用比較法，觀察特征，發現規律
在畢業班的教學中，我發現學生分數應用題的錯誤率很高，究其原因除了整數應用題中的數量關系不清外，更主要的是由于分數概念的抽象，使學生不能理解分數應用題的數量關系，找不準單位“1”，因而不容易掌握解題規律和方法。針對上述原因，我作了如下的嘗試：
一、弄清基本概念，加強兩種意義的教學
“分數的意義”是教學分數乘除法應用題的起點，“一個乘以分數的意義”是解答分數乘除法應用題的依據?！扒笠粋€數的幾分之幾”和“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的應用題，都是根據這個意義列出乘法算式或方程的。因此，要讓學生切實理解和掌握“分數的意義”和“一個數乘以分數的意義”，是進行分數應用題教學的關鍵所在。
1.強化分數意義
所謂“分數”就是把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫做分數。這個概念中有三個知識點：①單位“1”，把要平均分的任何事物看做一個整體，用單位“1”表示，又稱整體“1”。②平均分，分數是建立在平均分的基礎上的。③表示平均分的一份或幾份的數才叫分數。因此，要強化分數意義的教學。重點訓練學生說清分數意義這個概念中的三個重點。
2.強化一個數乘分數的意義（能充分利用好數量關系）
學好分數乘法意義，對學好分數應用題至關重要。
（1）溝通整數乘法意義與分數乘法意義的聯系：
例：一桶油100千克，1/ 2桶油重多少千克？列式：100×1/2=50（千克）。就是求100的1/2 是多少？ 應注意當倍數不滿1時，“倍”字略去。即把100千克平均分成2份表示這樣的1 份。
一桶油100千克，3/4桶油重多少千克？列式：100×3/4=75（千克）。就是求100的3/4 是多少？ 即把100千克平均分成4份表示這樣的3 份。
這樣就溝通了求一個數的幾倍和求一個數的幾分之幾之間的聯系，其實質是一樣的，使學生感到新知不新，增強了學習的信心，也完成了整數乘法的意義向分數乘法意義的過渡。
二、利用線段圖，掌握規律
由于分數應用題比整數應用題抽象，因此，學生更需要借助于線段圖作拐杖。只要能畫出線段圖，題中的數量關系便形象、直觀地展現在學生面前，學生更易于理解題中的數量關系，便于找出解題規律。
例（1）：一本書共有300頁，看了全書的2/5 ，看了多少頁？（此題是部總關系的，讓學生從線段圖中體會部分與總量之間的關系）指導學生分三步畫圖：①畫出單位“1”的量；②再畫出全書的2/5；3）、標出相應的條件和問題。
三、找準等量關系的訓練
（1）尋找等量關系的訓練要緊緊地聯系學生的實際，首先讓學生讀題后明確是部總關系還是比較關系。如：如部總關系，已知單位“1”的量，和一部分分率，求一部分量；求另一部分量；求一部分量比另一部分量多（少）多少?；蚍粗柧殻寣W生用方程尋找等量關系。
（2）訓練寫等量關系式。
例：實際用電比原計劃節約了1/9。
等量關系式：原計劃×1/9=節約的；
原計劃- 原計劃的1/9=實際用電
學生根據分數的意義，掌握了等量關系是解答分數應用題的關鍵，這樣就可以正確列式計算，還可順利地用方程解答分數除法應用題，將分數乘除法的解題思路歸結在一起。溝通了知識之間的聯系。運用了這種方法分析解題思路，它運用了對應、轉化和代數的數學思想和方法，有利于從算術解法向代數解法發展，有利于培養學生應用數量關系式來分析問題和解決問題的能力，同時也有利于學生真正學到一些終身受用的基本思想方法，也完成了分數乘法應用題向除法應用題的過渡。同時也完成了分數基本應用題向復合應用題的過渡。
四、變換單位“1”的訓練，提高能力
在解答分數乘除法應用題時，對“1”的理解、掌握和運用也是關鍵的一環。尤其是對單位“1”變化規律的掌握，不僅直接關系到解題效果，而且對發展兒童的智力，起著不可忽視的作用。在教學中學生對分率的理解是比較困難的，而在分析中如果加強練習，會取得事半功倍的效果。
例：五（1）班男生人數是女生人數的4/5。（或男生是女生的80%）
① 女生人數為單位“1”，男生人數是女生人數的4/5。男生比女生少1/5；
②男生人數為單位“1”，女生人數是男生人數的5/4，女生人數比男生人數多1/4。
③全班人數為單位“1”，男生人數占全班人數的4/9，女人數占全班人數的5/9，男生人數比女生人數少全班的1/9。
片段一：加減法，從本質上找聯系
師：（手指黑板上的課題）同學們今天我們復習的內容是――四則運算。四則運算是指哪幾種運算？
生：加、減、乘、除。（豎著板書：加、減、乘、除）
師：有哪幾種數的加、減、乘、除四則運算？
生：整數、小數、分數。（橫著板書：整數、小數、分數）
師：（出示作業紙上第一題）今天陳老師給大家帶來幾道題目。請同學們看一看。（停頓10秒）你覺得哪幾道題比較容易？
生1：我覺得 ① 35+416 ② 3/4+ 2/5 ③ 51.7-3.48比較容易。
生2：我覺得 ⑦ 4/5×2/3 ⑧ 2/3÷1/18也比較容易。
師：剛才同學們點到的題有①②③⑦⑧。看來有部分同學覺得像這樣的（手指①②③）加減法比較容易。為什么？
生：因為只要數位對齊算就行了。
師：你們指的數位對齊算是指――（手指黑板上的三類數）
生：整數、小數。（在“整數”和“小數”下方板書：數位對齊）
師：為什么要數位對齊呢？
生：數位對齊，計數單位就統一了。
師：也就是說相同的計數單位才能相加減。
（在“數位對齊下方”板書：相同的計數單位）
師：整數、小數的加減法只要數位對齊就能算了，那分數的加減法又是怎么算的？
生：分母相同的分數，分母不變，分子相加減。
師：除了分母相同的情況之外，還有沒有其他情況？
生：分母不同先通分，然后再加或減。
師：為什么要通分呢？
生：為了統一分數單位。
師：看來所有的加減法道理都是一樣的DD，就是把相同計數單位上的數相加減就可以了。方法簡單，道理一樣，這是你們喜歡加減法的原因，對吧？
……
【設計意圖：在上課之前對學生進行了前測，拿著自己出的練習題叫學生指出最喜歡算哪幾題？最不喜歡算哪幾題？發現學生比較喜歡算整數、小數、分數的加減法，分數的乘除法；不太喜歡算小數的乘除法。問學生為什么喜歡？答案很簡單，容易算。整數、小數、分數四則運算的計算方法粗粗分有12條，細細分就更多了，如果一條一條講顯然太單調、太枯燥。更何況有些計算方法學生不會講或講不完整，但不代表他不會做或不理解。基于以上的幾點考慮，我決定不一條一條回憶，讓學生從各種算法之間的共同點著手，找到算法與算法之間的聯系，把有聯系的算法進行溝通，達到更好、更快、更簡單的掌握各類算法的目的。同時又在原有舊知上有所提升，從“舊”中出“新”。課一開始直接揭題，接著拋出兩個問題：“你覺得哪幾道題比較容易？”“為什么？”找到整數、小數加減法算法的共同點“數位對齊”，本質就是“相同的計數單位才能相加減”，接著再溝通分數加減法與整數、小數加減法的共通點“通分，本質也是相同計數單位才能相加減”。這樣一來就透過整數、小數、分數加減法算法的不同表象，發現了相同的本質，使學生對算法的理解更加透徹和深刻?！?/p>
片段二：乘除法，從轉化中找聯系
師：這些題目中你們覺得哪幾道題比較難？
生：1.25×1.3，5.6÷0.35
師：看來大家都覺得小數乘除法比較難。為什么？
生1：小數乘法在計算時要把小數化成整數。
生2：小數點容易點錯。
生3：計算小數除法時，要把除數是小數的轉化成除數是整數的，再計算，轉化時不小心會搞錯。
師：看來在計算小數乘除法時都要―――
生：轉化。（在“乘”“除”法右邊板書：轉化）
師：同學們對這樣要轉化過再來計算的題目，覺得比較煩，覺得比較容易出錯。那么對這樣容易錯的題目你有什么地方要提醒大家的？
生：小數點不要移錯。
……
師：帶著這些注意點，拿出作業紙，靜靜的完成作業紙第一題。
……
師：剛才同學提到這兩道題（1.25×1.3，5.6÷0.35）比較容易算錯，其實這兩道題容易錯在哪兒？
生：小數點。
師：誰能結合1.25×1.3這道題來說說，積的小數點怎么確定的？
生：先把1.25化成整數，小數點向右移動了2位，把1.3化成整數，小數點向右移動了1位，得出答案之后再移回去。
師：擴大了，后面要怎么樣？
生：縮小回去。
師：所以小數點的這個點點在哪里，跟誰很有關系的？
生：跟兩個乘數里小數的位數有關。
師：乘數里面一共有幾位小數，積里面就要點出幾位小數。
師：那小數除法又是怎么算的？
生：先把除數轉化成整數。
師：轉化的時候要注意什么？
生：除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也要同時向右移動幾位。
師：這里運用了什么性質？
生：商不變性質。
師：乘除法中小數點還要跟原來的對齊嗎？為什么？
生：因為在計算的時候是轉化過的。
……
一、20以內進位加法
看大數，分小數，湊整十，加零頭。
（掌握“湊十法”，提倡“遞推法”。）
二、20以內退位減法
20以內退位減，口算方法和簡單。
十位退一，個加補，又準又快寫得數。
三、加法意義，豎式計算
兩數合并用加法，加的結果叫做和。
數位對其從右起，逢十進一別忘記。
四、減法的意義豎式計算
從大去小用減法，減的結果叫做差。
數位對齊從右起，不夠減時前位拿。
五、兩位數乘法
兩位數乘法并不難，計算過程有三點：
乘數個位要先算，再用十位乘一遍，
乘積末位是關鍵，要和十位來對端；
兩次乘積相加完，層層計算記心間
六、兩位數除法
除數兩位看兩位，兩位不夠除三位。
除到那位商那位，余數要比除數小，
然后再除下一位，試商方法要靈活，
掌握“四舍五入”法，還有“同商比較法”，
了解“折半定商法”，不足除數商九、八。（包括：同頭、高位少1）
七、混合運算
拿到式題認真看，先算乘除后加堿。
遇到括號要先算，運用規律要改變。
一些數據要記牢，技能技巧掌握好。
八、加、減法速算
加減法速算你莫愁，拿到算式看清楚，
接近整百湊整數，如下處理無謬誤。
加法不足減補數，超余零頭加在后。
減法不足加補數，超余零頭減在后。
九、多位數讀法
讀書方法很容易，首先四位一分級。
要從位讀起，幾千幾百幾十幾。
級的單位讀億萬，末尾有零都不讀
（級末尾0不讀，整個數末尾0不讀）
中間夾零讀一個，漢字表達沒參和。
注讀零的：
1、萬級個級首位有零
2、整個萬級是零
3、上級末尾下級首位都有0
4、每級中間有0
十、小數加減法
小數加減計算題，以點對準好對齊。
算法如同算整數，算畢把點往下移。
十一、小數乘法
小數乘小數，法則同整數。
定積小數位，因數共同湊。
十二、除數是小數的除法
除數的小數點一劃，（去掉小數點）
被除數的小數點搬家，向右搬家搬幾位，
除數的小數位數決定它。
十三、質數歌
一位質數2、3、5和7，
兩位1、3、7、9前加1，
4后3，7前有9，7后1，
3、4、6后加7、1，
2、5、7、8后添9、3，
二十五個質數要記全。
十四、分數乘除法
分數乘法易學懂，分子分母分別乘。算式意義要搞清，上下能約更輕松。分數除法方法妙，原來除號變乘號。除數子母打顛倒，進行計算離不了。
十五、約分
約分、約分，相乘約凈，省時省力。從上往下，從左到右，弄清數據，一數不漏。遇到小數，去點為整，位數不夠，用“零”來補。
十六、互質數的判斷
分數比化簡，互質數兩端。觀察記五點：1和所有數；相鄰兩個數；兩質必互質。大數是質數，兩數定互質。小數是質數，大數不倍數。（是小數的）
十七、文字題
敘述形式有三種，讀法意義和名稱。解題方法要記清，縮句化簡一步算。標點詞語把句斷，分層布列莫遲延。列式方法有兩種，可用算式和方程。
十八、比較關系應用題
（一）相差關系
1、多多少，少多少，都是大減小。
2、已知條件說比多，比前用加比后減。
3、已知條件說比少，比前用減比后加。
（二）倍數關系
1、倍在問題里用除。
2、倍在已知條件里，求是前用乘，求是后用除。
（三）求比幾倍多（少）幾的數
根據倍數分乘數，根據多少分加減。
算除先加減，算乘后加減。
十九、找單位“1”
單位“1“藏得巧，根據分率把你找。
“其中“的前站得好，”是、占、比“后坐得妙；
“問答式“能找到，補充說明要搞好。
百分數常遇到，不帶“率“字有禮貌。
找出一對好朋友，然后確定乘除號。
找單位“1“的說明：
抓住含有不帶單位名稱的分數的“關鍵句“、“關鍵詞”，進行剖析，這樣就解決了不少學生對于分數應用題苦于不知“從何下手”進行分析數量關系。因此，使學生學會迅速找“關鍵句”、“關鍵詞語”進行剖析數量關系，不僅能有利于掌握解答分數應用題的一般規律，而且也能培養學生的能力，發展學生的智力。先“找”后“析”是六年級學生普遍的學習規律，切記引導學生認真有序地進行分析。
分數應用題1、找 2、明 3、定 4、對應的解題思路。
二十、正反比例應用題
正比例，分三段，不變數量在中間，
前后歸一分開列，然后等號來連接。
反比例分三段，不變數量在前面，
“如果”分開歸總列，再用等號來連接。
你學會了嗎？？
順口溜用題思路舉例：
“求比一個數多幾的數”的應用題
六年制數學課本第四冊中“求比一個數多幾的數”與“求比一個數少幾的數”兩種應用題，是大小兩數進行比較，可以得到一個差。已知差與兩數中的一個數，求另一個數，這就是求比一個數多幾或少幾的數。所以“比……多“與“比……少“兩種應用題，都是求兩個數相差的逆推題，題目結構相同。已知條件得”多幾“與”少幾“應用題，只是一個問題的兩個側面而已。學生解這類題最容易犯的錯誤，是見”多’ 就用加法算，見“少”就用減法算，憑個別字眼判定算法。
教學思路是：
1、分析數量關系，教給學生思考問題的方法。
2、充分發揮線段圖的作用，使應用題的“事”轉化為“理”，又由 “理”轉化為“式”直觀地表達出來，然后找出規律。
例：P17例5 光明小學種樹，種了300棵柳樹，種的楊樹比柳樹多70棵，種楊樹多少棵？
一、 提問：有哪幾種樹？ （柳樹，楊樹）
誰與誰比？（楊樹與柳樹比）
誰多？（楊樹多） 誰少？（柳樹少）
二、計算的關系式：柳樹棵數+楊樹比柳樹多的棵數=楊樹的棵數
三、算式表示：300+70=370（棵）
四、如果把第一個條件改為問題，問題改為條件，應該怎樣算。
五、然后得出關鍵句：已知條件說比多（要求數在比前）比前用加，（要求數在比后）比后減。
解應用題兒歌
題目讀幾遍，從中找關鍵；
先看求什么，再去找條件；
合理列算式，仔細來計算；
一題求多解，單位莫遺忘；
結果要驗算，最后寫答案。
四舍五入法兒歌
四舍五入方法好，近似數來有法找；
取到哪位看下位，再同5字作比較；
是5大5前進1，小于5的全舍掉；
等號換成約等號，使人一看就明了。
長度單位認識歌
1厘米，很淘氣，仔細找，才見你。
指甲蓋1厘米，伸出手指比一比。
長短和我差不多，大約就是一厘米。
100個我是1米，我是米的小兄弟，
物體長了別用我，要不一定累死你。
除數是一位數的除法
除數一位看一位，一位不夠看兩位，（一看）
除到哪位商那位， （二商三乘減）
除數是兩位的除法
除數兩位看兩位，兩位不夠看三位。
除到哪位商那位，記熟口訣定好位。
試商方法要靈活，不夠商“1”“0”占位。
余數要比除數小，然后再除下一位。
除數當姐余當妹。 （四比五余）
四則混合運算的運算順序
括號括號搶第一，
乘法、除法排第二，
［摘 要］小數乘除法是小學數學教學的重點，也是難點。小數乘除法的學習要求學生具備較強的運算能力，數學教學中應著重培養學生的運算能力。滲透轉化思想，幫助學生理解算理、掌握算法，同時突出運算定律的作用，可有效地培養學生的運算能力。
［關鍵詞］小數乘除法 運算能力 轉化思想 算理 運算定律
［中圖分類號］ G623.5
［文獻標識碼］ A
［文章編號］ 1007-9068（2015）08-085
數的運算在小學數學中占有重要的地位，從整數到小數、分數的加減乘除運算，以及運算定律的運用等都占據了很大的比重，因而培養學生的運算能力顯得極為重要?！读x務教育數學課程標準》中將運算能力作為十大核心概念之一，也充分體現出運算能力在學生成長與發展中的重要價值。
一、滲透轉化思想，促進學生熟悉運算方法
轉化思想在小數乘除法中起著至關重要的作用，轉化思想對提高學生小數乘除法的運算能力，讓學生更快更好地熟練掌握小數乘除法運算，提高學習質量，實現知識的生成、發展與提升都起到了不可忽視的作用。
例如，在教學“小數乘法”時，我進行了如下設計。
師：大家請看，我這里有一個邊長為0．1分米的正方形，怎么求出它的面積呢？請同學們先列式，再嘗試求出結果。
生1：利用正方形的面積公式可以列式為0．1×0．1，0．1分米＝1厘米，可以求出小正方形的面積是1平方厘米，利用面積單位轉化“1平方分米＝100平方厘米”就可得出0．1×0．1＝0．01（平方分米）。
師：說得太好了，既正確應用了正方形的面積公式，又復習了面積單位的轉化，讓我們把掌聲送給他。那么還有其他的方法嗎？
生2：我在列式為0．1×0．1后，把兩個因數都擴大了10倍，變成了1×1，這樣積就擴大了100倍，回到原來這個式子上就需要將積縮小100倍，得到0．1×0．1＝0．01。
師：真棒，將小數先轉化為整數，然后再將擴大的倍數縮小回來，真聰明，這也就是我們乘法列豎式計算的基本思路。
二、幫助學生理解算理、掌握算法
在教學時，很多教師都只是注重方法的講解，讓學生通過大量的練習來掌握技能，而忽視了學生對算理的理解，殊不知讓學生理解算理是運算教學的起點，也是關鍵，不重視算理的教學就好像是無源之水、無本之木。因此，我們應幫助學生理解算理，讓學生在理解算理的基礎上更好地形成方法、掌握技能，最終提高運算能力。
在學習“小數除法”時，可先讓學生感知“被除數和除數同時擴大相同的倍數，商不變”的性質。這樣當除數為小數時，我們就可以通過向右移動小數點來轉化為整數，同時被除數也要向右移動相同的位數，這也就是小數除法的基本算理。在這一過程中學生會發現有這么三種情況：被除數也成為整數；被除數還是小數；被除數的末尾需要補0。因此在教學時我們要以此為重點，讓學生在理解算理的前提下反復練習小數點的移動規律，強調要把劃去的小數點和移動后的小數點分清，劃去可以用鉛筆，避免出現混淆，并按照先劃、再移、后點的順序，使學生能夠將其熟記于心，從而一步一個腳印，扎扎實實地掌握小數除法的運算。
三、突出運算定律的作用，讓學生養成主動運用運算律的良好習慣
運算定律的作用體現在解題中就是使運算更加簡潔、簡便，從而使復雜的計算變得簡單，甚至口算都能得出正確的結果。如在學習“小數乘法”時，我們可以通過幾組練習讓學生感知到整數乘法運算律對于小數乘法仍然適用，這樣就可以將運算律推廣到小數范圍內，讓學生體會到數學結論的嚴密性和科學性。同時要引導學生在計算時先看一看、想一想能不能用運算律，在這一過程中也就發展了學生的數感，使學生養成主動運用運算律的良好習慣，從而激發學生的學習興趣。
師：我們剛才已經通過嘗試得到整數乘法運算定律仍然適用于小數乘法運算，那么大家觀察、思考、完成下面的一組題目，看一下能不能用簡便方法運算，如果能，用了哪個運算律？
（1）2．5×3．2×0．125 （2）0．18×99 （3）89．7×99＋89．7
生1：第（1）題中我一看有2．5和0．125，就想到了4和8，于是我將3．2寫成0．4×8，就可得出2．5×3．2×0．125＝（2．5×0．4）×（8×0．125）＝1×1＝1，這里用到了結合律。
生2：一看第（2）題的結構就知道把99寫成（100－1），這樣就可以得到0．18×99＝0．18×100－0．18×1＝18－0．18＝17．82，這里用到了分配律。
生3：一看第（3）題的結構也是用分配律的，89．7×99＋89．7＝89．7×（99＋1）＝89．7×100＝8970。
師：大家說得都很好，反應也很快，可以看出運算律的作用真不小，如果不用或不會用的話，你不僅做不快，還很容易出錯。
