時間：2023-08-01 09:22:39
緒論：在尋找寫作靈感嗎？愛發表網為您精選了8篇數學思想方法的教學，愿這些內容能夠啟迪您的思維，激發您的創作熱情，歡迎您的閱讀與分享！
中學數學內容（基本要求）的整體結構有兩根強有力的支柱，即數學知識與數學思想方法.數學思想方法產生數學知識，數學知識又蘊載著思想方法，二者好比鳥之雙翼，須臾不離，缺一不可.從教育的角度來看，數學思想方法比數學知識更為重要，這是因為知識的記憶是暫時的，數學思想方法的掌握是永久的；知識只能使學生受益一時，數學思想方法將使學生受益終生.日本學者米山國藏指出：“無論是對于科學工作者、技術人員還是數學教育工作者，最重要的是數學的精神、思想和方法，而數學的知識只是第二位.”世界著名數學家波利亞在60年代曾做過統計，普通中學的學生畢業后在其工作中需要用到數學的（包括數學家在內）約占全部學生的30%，而其余的70%則幾乎用不到任何具體的數學知識.正是基于這樣的分析，波利亞認為：“一個教師，他若要同樣地去教他所有的學生――未來用數學和不用數學的人，那么他在教解題時應當教三分之一的數學和三分之二的常識（即是指一般性的思想方法或思維模式）.”這就是說，在數學教學中，必須重視數學思想方法的教學.那么怎樣在數學教學中進行數學思想方法的教學？筆者的觀點是：
一、激發學生學習數學思想方法的內在動機
要想使學生主動學習并掌握數學思想方法，必須讓學生認識到數學思想方法能幫助自己提高學習效率，改善學習成績.這樣才有可能受到激勵，產生學習數學思想方法的動機.因此，在數學教學中，教師要注意通過演示、講解、討論等，突出數學思想方法在學習和解決問題中的作用和價值，使學生認識到數學思想方法對學習有改善作用.
例如，問題1：對于每個實數x，設f（x）是4x + 1，x + 2和-2x + 4三個函數中的最小值，求f（x）的最大值.
分析：題中沒有直接給出f（x）的表達式，想通過抽象的數量關系分析求解，顯然是困難較大，但是如果運用數形結合的思想方法，將問題與函數圖像聯系起來，利用圖像的直觀作用，就容易弄清f（x）的具體內容，確定取最大值的點的位置，使原題順利解出. 即在同一平面角坐標系中，作函數
y = 4x + 1 ①
y = x + 2 ②
y = -2x + 4 ③
的圖像，如圖1，觀察圖像即得f（x）的最大值是直線y = x + 2與直線y = -2x + 4的交點E的縱坐標，即函數f（x）有最大值■.
為了激發學生學習數學思想方法的的興趣，教師還可以讓學生比較、評價自己使用數學思想方法和不使用數學思想方法條件下的學習成績，要讓學生明白，優良的數學成績是正確應用數學思想方法的結果，來激勵學生學習數學思想方法的主動性.從而看到數學思想方法運用所帶來的好處.
二、結合數學教學內容，在具體情境中教學數學思想方法
因為數學思想方法的應用往往離不開具體的數學內容，所以數學思想方法的教學應作為學生面臨的實際學習任務的一部分來教，通過提供數學思想方法可以應用的情境，讓學生逐步學會數學思想方法.
例如，“垂線”概念的教學設計：
活動一：操作
如圖2，讓學生把課前準備好的“相交線模型”中的其中一根木棒固定，把其中的另一根木棒繞固定點轉動，觀察轉動過程中，把你認為兩根木棒比較美觀的特殊位置固定.
活動二：畫圖
引導學生用幾何圖形表示兩根木棒的特殊位置，并標上字母（如圖3）.
活動三： 測角
引導學生用量角器測量圖3中的四個角.
活動四：形成概念
讓學生為這一特殊情形命名，并用自己的語言下定義，然后與書本上比較異同.
活動五：反思
讓學生反思垂線概念是怎樣得到的，與相交線概念的聯系.
以上的教學過程，其滲透的是從一般到特殊、運動與靜止、數學抽象、數學美等重要的數學思想方法. 學生通過數學活動，形成了豐富的垂線概念的表象，水到渠成地得到垂線的定義，當學生對垂線概念自主建構的同時，也獲得了對數學思想方法的體驗.
數學思想方法與數學知識的結合是非常緊密的，是相互滲透、互相融合的，只要教師在教學中有意識地進行滲透、傳授，學生就能獲得大量的關于解決問題的一般的特殊的數學思想方法.因為能提高人的學習記憶和思維效率的數學思想方法是無數的，雖然某些簡單的數學思想方法可以很快地學會，但大部分數學思想方法的學習是不能立竿見影的，所以數學思想方法的訓練是長期、反復和螺旋上升的.
三、按程序性知識學習規律教學數學思想方法
數學思想方法也是一種程序性知識，其教學應符合程序性知識的學習規律.先是提供數學思想方法應用的實例，通過師生共同分析歸納出有關的數學思想方法，再在教師指導下進行該數學思想方法的應用練習.比如，“逆向思考方法”的教學，教師從“司馬光砸缸”的故事開始，讓學生討論“司馬光砸水缸救人”運用的方法，當學生從故事中概括出：將“人救出水”辦不到時，就讓“水離開人”，那么“逆向思考的數學方法”也就水到渠成了.然后讓學生嘗試解題：池塘里睡蓮覆蓋的面積每天增大 1 倍，若經17天，可長滿整個池塘.問長滿半個池塘需要多少天？有的學生從正向思考，解法較繁，有的學生逆向思考，解法較巧.即由“每天增大 1 倍”知，從覆蓋一個池塘退回覆蓋半個池塘只需1 天，故長滿半個池塘需17 - 1 = 16（天）.當學生體會到好的問題解決通常要應用有效的數學思想方法時，就能自發地運用所學習的數學思想方法來調控其學習.
接著，讓學生運用該數學思想方法進行練習（練習題略）.
在數學思想方法教學中，重視數學思想方法的發現，強調讓學生多進行在一系列相似情境和不同情境中的變式操作，這對數學思想方法的掌握是大有裨益的.
四、指導學生監控數學思想方法的使用
在數學思想方法運用過程中，學生需要不時地檢測數學思想方法運用的程度，分析當前的學習任務是否滿足數學思想方法運用的條件，利用數學思想方法取得了哪些進展等.
例如，解關于x的方程：x4 - 10x3 - 2（a - 11）x2 + 2（5a + 6）x + 2a + a2 = 0.
這是一個關于x的四次方程，學生解決這一問題的常規方法是降次，通過因式分解將4次降為2次，但按這樣的方法解決問題并非容易.這時，教師要引導學生自我提問：“我的解題方法能夠徹底解決問題嗎？”“如果不行，我能換一個思考角度，或者換一種解題方法嗎？”等.事實上，如果換一個思考角度，采取逆向思維方法思考，將x視為常量，而將a看為變量，問題就轉化為解關于a的二次方程a2 - 2（x2 - 5x - 1）a + （x4 - 10x3 + 22x2 + 12x） = 0的問題.解該方程得a = x2 - 6x 或 a = x2 - 4x - 2.到此，我們再把x看為變量，a視為常量，解關于x的二次方程，得x1，2 = 3± ，x3，4 = 2± .
“自我提問”就是讓學生通過自我意識相應地調節自己的思維和行動.在數學思想方法教學中，教師要不斷提醒學生數學思想方法應用的適用條件，教會他們通過“自我提問”監控利用數學思想方法時所取得的進展，問題一旦發現，則要教他們如何嘗試矯正并加以評價，并逐步把外部指導內化為學生自己監控和調節過程.
現代認知心理學認為所有的研究都要強調教學生知道何時、何處應用已學過的數學思想方法的重要性，教會他們注意正在使用的數學思想方法在什么場合使用以及是否適用，則效果更加好.比如，在解題教學中，先讓學生獨立思考解題的思路，然后組織學生討論，在討論中，讓學生說出自己的解題過程，大家對照過程和結果，看看誰的方法最好，從而尋找最佳解題思路，這是訓練數學思想方法的一種有效方法.因為有效，它對數學思想方法的概括和保持是關鍵性的.
五、讓學生在合作學習中運用數學思想方法
所謂合作學習，是指教學活動中學生相互討論、互相提問、互相幫助、共同學習的形式.它被現代認知心理學家視為數學思想方法教學中的一種重要的教學組織形式.
在合作學習中，通過學生間的相互觀察和模仿，可以更貼近地觀測他人巧妙使用的數學思想方法，通過“跳一跳”使自己掌握新的數學思想方法.在合作學習中，由于學生之間更密切地接觸交流，能更清楚自己與其他同學在掌握數學思想方法上的差距，從而產生“奮起直追”的念頭，起到學習數學思想方法的激勵和鞭策作用.
因此，在數學思想方法的教學中，教師應大膽創設寬松的民主氣氛，使學生敢于、樂于思考和討論，讓他們的思維進入自覺的思維情境中，有效地學習數學思想方法.
一、開展數學思想方法的教育是新課標提出的重要教學要求。
新課標突出強調：“在教學中應當引導學生在學好概念的基礎上掌握數學的規律（包括法則、性質、公式、公理、定理、數學思想和方法）。良好的數學知識結構不完全取決于教材內容和知識點的數量，更應注重數學知識的聯系、結合和組織方式，把握結構的層次和程序展開后所表現出來的內在規律。數學思想方法能夠優化這種組織方式，使各部分數學知識融合成有機的整體，發揮其重要的指導作用。甚至會對個體的世界觀、方法論產生深刻的影響，形成數學學習效果的廣泛遷移。
二、初中數學中蘊含的數學思想方法
最基本的數學思想方法是數形結合的思想，分類討論思想、轉化思想、函數的思想，突出這些基本思想方法，就相當于抓住了中學數學知識的精髓。
1、數形結合的思想
“數”和“形”是數學教學中既有區別又有聯系的兩個對象。在數學教學中，突出數形結合思想，有利于學生從不同的側面加深對問題的認識和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力。
2、分類討論的思想
“分類”是生活中普遍存在著的，分類思想是自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方法，也是研究數學問題的重要思想方法，它始終貫穿于整個數學教學中。從整體上看，中學數學分代數、幾何兩大類，然后采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現。從具體內容上看，初中數學中實數的分類、三角形的分類、方程的分類等等，在教學中就需要啟發學生按不同的情況去對同一對象進行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。
3、轉化思想
數學問題的解決過程就是一系列轉化的過程，中學數學處處都體現出轉化的思想，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，是解決問題的一種最基本的思想。
三、數學教學中進行數學思想方法的教學應把握的幾個方面
1、在概念教學中滲透數學思想方法
數學概念是現實世界中空間形式和數量關系及其本質屬性在思維中的反映，人們先通過感覺、知覺對客觀事物形成感性認識，再經過分析比較，抽象概括等一系列思維活動而抽取事物的本質屬性才形成概念。因此，概念教學不應只是簡單的給出定義，而要引導學生感受及領悟隱含于概念形成之中的數學思想。
2、在定理和公式的探求中挖掘數學思想方法
著名數學家華羅庚說過：“學習數學最好到數學家的紙簍里找材料，不要只看書上的結論。”這就是說，對探索結論過程的數學思想方法學習，其重要性決不亞于結論本身。數學定理、公式、法則等結論，都是具體的判斷，其形成大致分成兩種情況：一是經過觀察，分析用不完全歸納法或類比等方法得出猜想，爾后再尋求邏輯證明；二是從理論推導出發得出結論。總之這些結論的取得都是數學思想方法運用的成功范例。
3、在問題解決過程中強化數學思想方法
許多教師往產生這樣的困惑：題目講得不少，但學生總是停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍稍一變則不知所措，學生一直不能形成較強解決問題的能力。更談不上創新能力的形成。究其原因就在于教師在教學中僅僅是就題論題，殊不知授之以“漁”比授之以“魚”更為重要。
四、進行數學思想方法的教學應遵循的原則。
1、循序漸進原則。
數學思想方法的形成難于知識的理解與掌握。學生學習數學思想和方法一般要經歷三個階段，一是模仿形成階段，它們往往只注意了數學知識的學習，而忽視了聯結這些知識的觀點，以及由此產生的解決問題的方法和策略，即使有所覺察，也是處于"朦朦朧朧"、"似有所悟"的境界。二是初步應用階段，即學生對數學思想方法的認識開始已經明朗，開始理解解題過程中所使用的探索方法和策略，也會概括總結出來。 三是自覺應用階段，學生能根據數學問題，恰當運用某種思想方法進行探索，以求得問題的解決。學生數學思想方法的學習過程，決定了數學思想方法的教學不可能一步到位，也有一個相應的循序漸進、由淺入深的過程，因此要按照"反復教育、初步形成、應用發展"的順序來完成某一數學思想方法的教學。
2、學生參與原則。
由于數學思想方法比數學知識更抽象，不可能照搬、復制。數學思想方法的教學是數學活動過程的教學，重在思辯操作，離開教學活動過程，數學思想方法也就無從談起。只有組織學生積極參與教學過程，在老師的啟發引導下逐步領悟、形成、掌握數學思想方法。因此，要通過教學，讓學生在學習數學知識過程中，根據自己的體驗，用自己的思維方式構建出數學思想方法的體系。
五、數學思想方法的教學策略
1、分析教材，細劃目標。
數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象概括，它蘊涵于數學知識的發生、發展和應用過程中。在一章或一單元的教學中，將涉及很多的數學思想方法，就要有意識突出一種或幾種思想方法的教學，如在不等式單元教學中將涉及代換思想、函數方程思想、數形結合思想、分類思想。為此，在進行教學目標設計時要注意其教學側重點，細劃目標，從教學思想領域和認知領域兩個方面分別設置目標。
2、嘗試不同的教學方法
長期以來，“教師教，學生學”是教學過程中的一個傳統模式，這樣的教學法已不再適應新的教學觀，應將教師的作用從“教”提高到“導”，“導”就是引導，即教師的作用是引導學生，充分地使學生展示自己的思維能力和想象能力，盡可能讓學生自己發現、歸納、總結知識。要采取各種教學方法，如：討論法、談話法、實驗法等有利于引導學生的教學方法，從而提高素質培養能力。
一、滲透性原則
中學數學教學內容是由具體的數學教材中的數學表層知識與深層知識，即數學思想和方法組成的有機整體。表層知識一般包括概念、性質、法則、公式、公理、定理等數學的基本知識和基本技能，表層知識是深層知識的基礎，是教學大綱中明確規定的。教材中明確給出的，且是具有操作性較強的知識；深層知識一般是蘊含于表層知識之中的，是數學的精髓，它支撐和統帥著表層知識，教師必須在講授表層知識的過程中不斷滲透相關的深層知識，才能使學生在掌握表層知識的同時，領悟到深層知識，使學生的表層知識達到一個質的“飛躍”。
所謂滲透性原則，是指在表層知識教學中一般不直接點明所應用的教學思想方法，而是通過精心設計的教學過程，有意識潛移默化地引導學生領會蘊含其中的數學思想和方法。
首先，因為數學思想方法與表層的數學知識是有機整體，它們相互聯系、相互依存、協同發展，那種只重視講授表層知識，而不注重滲透思想方法的教學是不完備的教學，它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高；另外，由于思想方法總是以表層知識教學為載體，若單純強調數學思想方法，就會使教學流于形式，成為無源之水、無本之木，學生也難以領略到思想方法的真諦。
其次，由于數學思想方法是表層知識本質和內在聯系的反映，它具有更大的抽象性和概括性，如果說數學方法還具有某種形式的話，那么數學思想就較難找到固定的形式，而體現為一種意識或觀念。因此，它不是一朝一夕、一招一式可以完成的，而是要日積月累，長期滲透，才能水到渠成。
如上兩個方面，說明了貫徹以滲透性原則為主線的重要性、必要性和可行性。
二、反復性原則
數學思想方法屬于邏輯思維的范疇，學生對它的領會和掌握具有一個“從個別到一般、從具體到抽象、從感性到理性、從低級到高級”的認識過程，由于思想方法和具體的表層知識相比，更加抽象和概括。因此，這個認識過程具有長期性和反復性的特點。
一般來說，數學思想方法的形成有一個過程，學生通過具體表層知識的學習，對于蘊含其中的某種數學思想方法開始產生感性的認識，經過多次反復，在豐富感性認識的基礎上逐漸概括形成理性認識，然后在應用中對形成的數學思想方法進行驗證和發展，加深理性認識。從較長的學習過程來看，學生是經過多次地反復，逐漸提高認識的層次，從低級到高級螺旋上升的。
三、系統性原則
數學思想方法的教學與表層知識教學一樣，只有成為系統。建立起自己的結構，才能充分發揮它的整體效益。當前在數學思想方法的數學中，一些教師的隨意性較強。在某個表層知識教學中，突出什么數學思想方法，挖掘到什么深度，要求到什么程度，往往比較隨意，缺乏系統和科學性。盡管數學思想方法的教學具有自己的特色，系統性不如具體的數學表層知識那樣嚴密，但進行系統性研究，掌握它們的內在結構，制訂各階段教學的目的要求，提高教學的科學性，還是十分必要的。
要進行數學思想方法系統的研究，需要從兩方面人手：一方面挖掘每個具體數學表層知識教學中可以進行哪些數學思想方法的教學；另一方面又要研究一些重要的數學思想方法可以在哪些表層知識點教學中進行滲透，從而在縱橫兩方面整理出數學思想方法教學的系統。
四、明確性原則
數學思想方法的教學，在貫徹滲透性、反復性和系統性原則的同時，還要注意到明確性原則，從數學思想方法教學的整個過程來看，只是長期、反復、不明確地滲透，將會影響學生從感性認識到理性認識的飛躍，妨礙了學生有意識地去掌握和領會數學思想方法，滲透性和明確性是數學思想方法教學辯證的兩個方面。因此，在反復滲透的過程中，利用適當機會，對某種數學思想方法進行概括、強化和提高，對它的內容、名稱、規律、運用方法適度明確化，應當是數學思想方法教學的又一個原則。
當前，在中學數學各科教材中，數學思想方法的內容顯得隱蔽且薄弱，除去一些具體的數學方法，比如消元法、換元法、待定系數法、綜合法、分析法、比較法等有明確地陳述外，一些重要的數學思想方法都沒有比較明確和系統地閘述。比如，數形結合思想方法，分類討論思想方法，化歸、轉換思想方法，系統思想方法，辯證思想方法等，它們一直蘊含在基礎知識教學之中，隱藏在幕后。我們認為，適當安排它們在教學中、出現在前臺亮相，對于學生領會和掌握是大有裨益的。
當前，貫徹明確化原則勢必在數學表層知識教學中進行，處理不好會干擾基礎知識的教學，我們應當在整個教學過程中，有計劃、有步驟地進行，尤其可以在章節小結中去完成明確化的任務。另外，明確化也要做到適度，要針對教材的內容和學生的實際，有一個從淺至深、從不全面到較全面的過程。
一、初中數學教材中的數學思想方法
1.符號的思想
研究數學問題時，為使問題簡明，常常要引進數學符號，這種引進數學符號來簡化問題的思想就是符號思想，用字母表示數的思想就屬于符號思想。符號既可表示數，亦可表示量、關系、運算、圖形等，符號思想在初中數學各章節都出現，可以說沒有符號就沒有代數、沒有幾何，它是簡化問題最基本的方法，利用它可以提高我們的記憶力，起到化繁為簡的目的，因此我們在教學中要貫穿這個思想，提高學生的思維能力。
例：把（a+b）2-（a-b）2分解因式
學生A：解：原式＝a2+2ab+b2-a2+2ab-b2＝4ab
學生B：解：原式＝（a+b+a-b）（a+b-a+b）＝4ab
分析：剛學分解因式時，有一部分學生會采用學生A的做法，因為他們還沒有深刻地理解公式a2-b2＝（a+b）（a-b）里的a，b的意義，所以不會想到學生B的做法。但是如果把題目變為（3a+b）2-（a+2b）2，學生們會發現用學生A的方法分解因式困難，而采取學生B的做法，運用公式卻能分解因式。此時，教師可強調公式里的a，b不僅可以表示實數，還可以表示單項式或多項式。
2.分類討論的思想
分類思想指的是一種依據數學對象本質屬性的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的數學思想方法。分類在解題中是一種很重要的方法，掌握分類思想，有助于學生提高理解知識、整理知識和獨立獲得知識的能力。運用這種方法解決數學問題要注意兩點：一是不能遺漏，二是不能重復。
例：如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝4cm，CD＝8cm，點P從A開始沿AB邊向B以3cm/s的速度移動，點Q從C開始沿CD邊向D以1cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動。設運動時間為t（s）。如果P和Q的半徑都是2cm，那么t為何值時，P和Q外切？
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圖1
分析：因為P和Q的半徑都是2cm，所以當PQ＝4cm時，P和Q外切。而當PQ＝4cm時，如果PQ//AD，那么四邊形APQD是平行四邊形；如果PQ與AD不平行，那么四邊形APQD是等腰梯形。本題應該分成兩類討論，最后可得當t為2s或3s時，P和Q外切。有些學生經常會漏解，教師在教學中要把重點放在教會學生如何去分類，不要就題講題。
3.轉化的思想
轉化思想又稱化歸思想，是最常用的數學思想方法，它實際上貫穿于解題的全過程，它是根據已有的知識、經驗把問題進行變換，轉化為已經解決的或容易解決的思想方法，最終目的是：化繁為簡，化抽象為直觀，化隱為顯，化難為易，化未知為已知等等。如在數的運算中，將減法化成加法，除法化成乘法，冪的運算可變成指數的加減運算；在分式計算中，把異分母分式化成同分母分式。在解方程中，把“二元”轉化為“一元”；分式方程變為整式方程。在證明中，也常常用到轉化的思想。
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圖2
例：如圖2，已知?荀ABCD中，AB＝2AD，∠BAD＝60°，E、F分別是AB和CD的中點。求證：EF、BD互相垂直平分。
分析：因為菱形的對角線互相垂直平分，所以可以轉化為證明四邊形BFDE是菱形，顯然要連接BF和DE，由已知條件，很容易先證得四邊形BFDE是平行四邊形。接著要證一組鄰邊相等，可轉化為先證AED是等邊三角形，再根據已知AB＝2AD，即可得到BE＝DE。有些學生對幾何證明題甚感頭痛，主要是因為他們沒有掌握解決證明題的思想方法。
4.數形結合的思想
數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學，因而數學研究總是圍繞著數與形進行的。“數”就是方程、函數、不等式及表達式等，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數形結合的本質是數量關系決定了幾何圖形的性質，幾何圖形的性質反映了數量關系。數形結合就是抓住數與形之間的內在聯系，以“形”直觀地表達數，以“數”精確地研究形。華羅庚曾說：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微。”通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺。
例：若a>0，b
分析：如果從“數”的范圍去討論這個問題頗顯困難，但若從“形”的角度去考慮，利用數軸很容易得到b
■
5.函數與方程的思想
函數與方程的思想就是用函數的觀點、方法研究問題，將非函數問題轉化為函數問題，通過對函數的研究，使問題得以解決。通常是這樣進行的：將問題轉化為函數問題，建立函數關系，研究這個函數，得出相應的結論。中學數學中，方程、不等式等問題都可利用函數思想得以簡解。
例：如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，線段EF＝10。在EF上取一點M，分別以EM，MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使得矩形MFGN∽矩形ABCD。令MN＝x，當x為何值時，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？
■
分析：因為矩形MFGN∽矩形ABCD，可得MF＝2x，那么EM＝EF－MF＝10－2x，所以S＝x（10－2x）＝-2（x-■）2+■，根據二次函數的性質，易得當x-■時，S有最大值為■。
二、在教學實踐中加強數學思想方法的教學
中學數學的課程內容是由具體的數學知識與數學思想方法組成的有機整體，現行數學教材的編排一般是沿知識的縱方向展開的，大量的數學思想方法只是蘊涵在數學知識的體系之中，并沒有明確的揭示和總結。這樣就產生了如何處理數學思想方法教學的問題。進行數學思想方法的教學，必須在實踐中探索規律，以構成數學思想方法教學的指導原則。數學思想方法的構建有三個階段：潛意識階段、明朗和形成階段、深化階段。一般來說，應以貫徹滲透性原則為主線，結合落實反復性、系統性和明確性的原則。它們相互聯系，相輔相成，共同構成數學思想方法教學的指導思想。
1.滲透性原則
在具體知識教學中，一般不直接點明所應用的數學思想方法，而是通過精心設計的學習情境與教學過程，著意引導學生領會蘊涵在其中的數學思想和方法，使他們在潛移默化中達到理解和掌握。數學思想方法與具體的數學知識雖然是一個有機整體，它們相互關聯，相互依存，協同發展，但是具體數學知識的教學并不能替代數學思想方法的教學。一般來說，數學思想方法的教學總是以具體數學知識為載體，在知識的教學過程中實現的。如果說數學方法尚具有某種外在形式或模式，那么作為一類數學方法的概括的數學思想，卻只表現為一種意識或觀念，很難找到外在的固定形式。因此，數學思想方法的形式絕不是一朝一夕可以實現的，必須日積月累，長期滲透才能逐漸為學生所掌握。如：在“有理數及其運算”一章中，可以結合“數軸”教學，進行數形結合思想的滲透；在“有理數的混合運算”中可以滲透轉化的思想方法。
2.反復性原則
學生對數學思想方法的領會和掌握只能遵循從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的認識規律。因此，這個認識過程具有長期性和反復性的特征。從一個較長的學習過程看，學生對每種數學方法的認識都是在反復理解和運用中形成的，其間有一個由低級到高級的螺旋上升過程。如對同一數學思想方法，應該注意其在不同知識階段的再現，以加強學生對數學思想方法的認識。另外，由于個體差異的存在，與具體的數學知識相比，學生對數學思想方法的掌握往往表現出更大的不同步性。在教學中，應注意給中差生更多的思考，接受理解的時間，逾越了這個過程，或人為地縮短，會導致學生囫圇吞棗，長此以往，會形成好的更好，差的更差的兩極分化局面。
3.系統性原則
數學思想方法是以具體數學內容為載體，又高于具體數學內容的一種指導思想和普遍適用的方法。它能使人領悟到數學的真諦，學會思考和解決問題，并對學生學習和應用數學知識解決問題的思維活動起著指導和調控的作用。數學作為中等職業學校的文化必修課之一，它的任務是通過數學知識的學習，提高學生的推理能力、抽象能力、分析能力和創造能力，使學生具有繼續學習的能力和創新精神，能夠盡快地適應社會、服務社會。日本數學家米山國藏認為：學生進入社會以后，如果沒有什么機會應用數學，那么作為知識的數學通常在出校門后不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么工作，那種銘刻在人腦中的數學精神和數學思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發揮作用。因為社會生活中有許多思維方法都和數學思想方法有著類似之處，所以在數學課程教學過程中要突出數學思想方法，這是當前中職數學教育的必然要求，也是數學素質教育的體現。下面結合中等職業學校的數學教學內容，以實例來說明課堂教學滲透的四種基本數學思想方法。
一、數形結合思想
數形結合是一種數學思想方法，數形結合思想通過“以形助數，以數解形”。“數”可以準確澄清“形”的模糊，“形”能在直觀中啟迪“數”的運算。正如華羅庚教授所言“數缺形時少直觀，形無數時難入微”。在中等職業學校的數學教材中，數形結合的思想方法應該是最常見、最常用的一種思維方法，甚至貫穿于第一冊（基礎模塊）教材的始終。從第一章用文氏圖來描述集合的運算到第二章用二次函數的圖象詮釋一元二次不等式的解以及第三章開始的基本初等函數的學習過程中，應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質。可以說，第一冊數學教材的教學內容中，能讓我們真正體會到“數形結合百般好，隔裂分家萬事休”。
例如，在教材第68頁選擇題中的第3題：已知 a＝log0.50.6， b＝log■0.5， c＝log■■，則a，b，c滿足（）。
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. a＜c＜bD. c＜a＜b
這道題是不同底數、不同真數的三個對數的比較。在不用計算器的情況下，要比較它們的大小關系，最好的辦法就是通過數形結合的思想方法，既形象又直觀，還能讓同學們再一次把握對數函數的圖象與其性質之間的關系，體現其中規律性與靈活性的有機結合。
二、分類討論思想
分類討論思想是根據數學對象與本質屬性的相同點與不同點將數學對象區分為不同種類的數學思想。分類討論的思想是邏輯劃分的思想在解數學題中的應用。它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題往往具有明顯的邏輯性、探索性、綜合性，能訓練學生的思維條理性和概括性。因此，在中職數學課堂教學中，教師應啟發學生按不同的情況對同一對象進行分類，幫助他們掌握好分類方法的原則，形成分類的思想。
例如：已知數的前n項和Sn＝2n2－n 求an .
分析：此題是數列求和的相關問題，項數n的取值對結果有著直接的影響，因此，對項數n進行分類討論。
解：當n＝1時， a1＝S1＝2×12－1＝1.
當n≥2時， an＝Sn-Sn-1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
在an ＝4n－3中，令n＝1得a1＝4×1－3＝S1＝1.
an ＝4n－3.
事實上，在教材的內容中所體現的分類討論思想也無處不在：在學習指數函數y＝ax與對數函數y＝ logax的圖象和性質時，顯然對底數a的取值進行了分類，分成a>1和0
三、轉化思想
轉化思想是把一種數學問題轉化成另一種數學問題進行思考的方法。把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可以解決的問題，使之得到有效的解決。正如數學家C·A·雅潔婭指出：“解題就是要把未解的題轉化為已經解過的題。”數學的解題過程就是一個不斷轉化的過程。在教學中，要讓學生認識到常用的很多數學方法實質就是轉化的方法，確信轉化是可能的，而且是必須的。
例如：在教材第二章不等式中只介紹了一元二次不等式和絕對值不等式的解法，并未涉及分式不等式的求解方法，但在課后練習中卻出現了分式不等式的求解。針對教材這樣的內容設置，筆者認為就是要讓學生真正把握在求解不等式過程中所應用的轉化思想。因此，在課堂教學中，再以下題為例：
求不等式■＞0的解。
分析：此類不等式為分式不等式，根據兩個因式之商大于零，所以符號必相同。解分式不等式可以轉化為解兩個不等式組：2x－1＞0，3x＋5＞0， 或2x－1＜0，3x＋5＜0. 而這也正好是解一元二次不等式基本解的原理，所以對這個分式不等式也可以轉化為一元二次不等式：（2x－1）（3x＋5）>0，從而也能夠很快地歸納出一元一次分式不等式的解答規律。
四、函數思想
函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，它體現了“聯系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地， 函數思想是構造函數，從而利用函數的性質解題。
例如：教材第66頁習題A中第2題：某公司現在的年利潤是5000萬元，預計每年增長22%，問預計經過多少年該公司的年利潤能達到12000萬元？
分析：從問題中可以看出年利潤是年數的函數，故可以設經過x年后，公司的利潤為y萬元，則
當x＝1時，y＝5000（1＋22%）
x＝2時，y＝5000（1＋22%）2
……
從而建立數學模型。
解：經x年后，公司利潤為y＝5000（1＋22%）x.
這是指數函數。只要知道經過的年數就可以計算該公司利潤。而此題是知道年利潤反過來求年數x，所以需要轉化為對數函數， 使用計算器計算x≈4.4，因此預計經過5年該公司的年利潤能達到12000萬元。
中等職業學校的學生將來走向職業崗位遇到的問題，都是實際問題。學會應用數學模型來解決問題，工作才能做到事半功倍，得心應手。正如在整個函數教學章節中，教材都設置了函數的實際應用舉例。教師在這些例題教學中，一定要有意識、有計劃、有目的地去揭示其中所隱含的數學思想方法，培養學生的函數思想。
初中數學的教學目的，一方面是讓學生學習必要的數學知識，更重要的是通過數學知識的載體，學習一些數學思想方法。這是因為數學思想方法是數學知識與技能中蘊含的更深刻、更普遍的東西。具體的數學結果、適用的范圍是有限的，而一個正確方法的運用，則可以產生絡繹不絕的新結果。數學思想方法是促進知識的深化以及向能力轉化，培養創新能力的橋梁。《數學課程標準》強調把數學思想方法作為基礎，結合教學內容有計劃地顯化數學思想方法，并讓學生用已獲得的數學方法探索新問題，培養學生思維能力，去觀察、分析、解決日常生活中的實際問題。因此，在初中數學教學中，我們需要關注數學思想方法的教學和學習，深入淺出地進行數學思想方法教學上的探索。
一、結合教學內容，有意識地滲透數形結合的思想
數和形是數學的兩種基本表現形式，數是形的深刻描述，而形是數的直觀表現。抽象的數學概念和復雜的數量關系，借助于圖形可以使之形象化、具體化、簡單化；復雜的幾何形體也可以用簡單的數量關系來表示。在解決實際問題時，數和形相互轉化以得到解決問題的目的。因此，數形結合是一種最典型、最基本的數學方法。如在應用題教學中，畫出線段圖，把問題中的數量關系轉化為圖形，由圖直觀地揭示數量關系。這種數形結合的方法，不僅能活躍學生的思維，拓寬學生的解題思路，提高解題能力，促進思維的靈活性、創造性，獲得最優化的解決方案，甚至可以激發學生的靈感，產生頓悟。
從數軸到平面直角坐標系，可以說數形結合的方法將數學推向了一個新的高度，利用坐標，用代數的方法研究幾何問題。如函數圖像的各種性質探討，都是利用數形結合的方法進行研究的。平面直角坐標系的引入，真正架起了數與形之間的橋梁，加強了數與形的相互聯系，成為解決數學問題的一個強有力的工具。
二、結合教學內容，有意識地滲透數學建模的思想
所謂數學模型，是指對于現實生活的某一特定事物，為了某個特定目的，做出必要的簡化和假設，運用數學工具得到一個數學結構，由它提供處理對象的最優方法或控制。初中數學教學是以方程教學為主線的，因此初中數學教學實際上也可以看做為數學模型的教學。初中生的生活經驗畢竟是有限的，許多實際問題不可能事事與自己的經歷直接相聯系。因而不能憑借生活經驗把實際問題轉化為數學問題進行解答，需要建立“問題情境-建立模型-解釋、應用與拓展”的思想方法。
在方程（組）教學中，要讓學生經歷建模思想形成與應用的過程，要關注實際問題情境。現實生活中存在大量問題涉及未知數，這就為學習方程（組）提供了充分的現實素材，對方程（組）的解法也是在解決實際問題的過程中進行的，通過解決實際問題反映出方程方程（組）既來自于實際又服務于實際。明確方程（組）是解決含有未知數問題的重要數學工具。其中設未知數、列方程（組）是數學模型表示和解決實際問題的關鍵，而正確地理解問題情境，分析其中的數量關系又是設未知數、列方程（組）的基礎。在教學中，要從多角度思考，借助圖形、表格、式子進行分析，尋找等量關系，檢驗方程的合理性，最終找到解決實際問題的方案與結果。
三、結合教學內容，有意識地滲透轉化遷移的思想
“從一種形式到另一種形式的轉變，是數學科學最有力的杠桿之一。”在實踐中，人們總是把要研究解決的問題，通過某種轉移過程，歸結到一類已經解決或比較容易解決的問題中去，獲得解決問題的方法。轉化遷移的思想方法是最常用的一種數學方法。如長方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形等圖形的面積計算都顯化了轉化遷移的思想方法。通過轉化，把未知轉化為已知，把復雜轉化為簡單。
轉化這種變換又是可逆的雙向變換，如用字母表示數、分數與小數互化，有時還需要交叉變換，如列方程解應用題。列一元方程困難轉化為列多元方程可能就容易，而解多元方程最終還要轉化為解一元方程，這種“列”與“解”的互化很好地體現了轉化的數學思想。對于方程的認識具備一定積累后，要充分發揮學習心理學中正向遷移的積極作用，借助已有的對方程的認識，可以為學習不等式提供一條合理的學習之路。
三、結合教學內容，有意識地滲透統計的思想
統計主要研究現實生活中的數據，它通過對數據的收集、整理、描述和分析來幫助人們解決問題。根據數據思考和處理問題，通過數據發現事物發展規律是統計的基本思想。在教學中要特別注意，用樣本估計總體是歸納法在統計中的一種運用。統計中常常采用從總體中抽出樣本，通過分析樣本數據來估計和推測總體。
在教學中，除通過具體案例使學生認識有關統計知識和統計方法外，應引導學生感受滲透于統計知識和方法之中的統計思想，使學生認識到統計思想是統計知識和方法的源頭，正是這種思想指導下才產生相應的知識與方法。
關鍵詞：聯想 創新 思維能力 思想方法
沒有理想和信仰的教育，必定是平庸的教育。素質教育與舊式的數學教學很重要的區別在于授課不單是把學生當成知識的容器，更應在教學中注重數學思想與方法的滲透。無論是學生的學習過程還是練習解答過程都應是在所學知識的背景下應用數學的思想方法在學習上的一種再創造、探索和思考的過程。這些思想方法及策略是學生將來走向社會必備的素養，這些素養將直接影響到學生將來能否適應社會的需求。
1、 數形結合的思想方法
數形結合的思想可以使學生從數到形和從形到數的關系中體會數形間的密切關系，從而能利用形象直觀的圖形解決抽象的數量關系，使本來模糊不清的關系豁然開朗，層次分明，從而思路流暢，解法簡捷，有利于培養學生創造性思維方法及豐富的聯想力，所以它是數學中一種十分重要和基本的方法。
如：小學生剛開始學數學，老師就得拿出幾個東西讓他們動手去數，從而體會圖形中蘊藏著數量。初中學生剛學負數時就借助溫度計的零下溫度、海平面以下155米的吐魯番盆地等形象生動的具體圖形理解負數的定義及學習負數的必要性，讓學生感受我們的身邊到處是負數。數軸的引進，使同學們自覺使用數與對應圖形點的關系比較大小、分析問題和解決問題。運用數軸使相反數、絕對值、有理數的加法等抽象問題變成具體形象、有形可觀，從而大大減輕了學生學習的難度。
數形結合往往使問題快捷準確，使得抽象的數量關系與豐富多彩的圖形密切相關，看看我們的身邊，奇妙的蜂房、股票的走勢圖、建筑物的設計圖等，形中隱數，處處是數與形的完美結合。
2、方程的思想方法
方程思想是初中數學中常見的一種數學思想，即通過已知與未知的聯系建立方程或方程組，并求解從而解決問題。隨著新課程標準的實施，初中數學中純幾何證明漸漸被弱化，幾何知識的應用更加突出，幾何中計算題比例增加，強調了幾何與代數間知識的滲透，運用方程解幾何計算題是必不可少的。
例如：有關兩個互補或互余角的倍分關系的問題；已知三角形的幾個內角的比值，求三角形各內角度數的問題；有關多邊形的邊數與內角和關系的問題；在直角三角形中，利用勾股定理列方程；利用直角三角形被斜邊上的高分成的兩個三角形與原三角形相似的四個等積式來列方程；在三角形相似中，根據對應邊的比、對應中線的比、對應高線的比、周長的比等于相似比，面積比等于相似比的平方等來列方程；利用面積相等、圓冪定理等。
可見方程的思想在幾何計算中有著廣泛的運用，通過布列方程，在己知量與未知量之間搭起橋梁，使解題思路簡單有序，它也是數形結合的又一體現。
3、函數的思想方法
函數的思想就是運動和變化的觀點，是客觀世界中事物運動變化規律在數學中的反映，它的本質是變量之間的一種對應關系。
例如：實數與數軸間的一一對應關系；二元一次方程兩個未知數的對應關系；求代數式值時，賦予字母的每一個確定的值都對應著代數式唯一確定的值；凸多邊形的邊數與內角和的對應關系；初中代數中正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數的自變量與函數值的對應關系；銳角的四個三角函數值與銳角角度的對應關系；長方形面積一定時，長與寬的關系等。
整個數學的教學處處都滲透著函數的思想，讓學生從函數的運動變化中感受數的運動變化，從而使靜態的知識處在動態運動、變化、發展的過程中，既豐富了同學們的想象力，又培養了辯證唯物主義的觀點。
4、分析與綜合的思想方法
利用分析與綜合的思想方法能避免教師說教，讓學生經歷討論和爭論后，自主分析和綜合所得出的結論，并清晰有條理地表達自己的思考過程。
如何分析題意，從運算過程中找到突破口，采用巧妙方法，及時而正確地算出結果是非常重要的。所以復習時必須要求學生既能用一般方法解決問題，又能用簡便方法解決問題，使學生們豁然開朗、靈活解答、融會貫通。
5、分類討論的思想方法
在解決某些問題的時候，需要將問題所涉及的所有對象依照一定的標準分成若干類，然后逐類討論，得出結論。通過分類討論，可以加強學生全面、系統的思維能力，并拓寬思路。
在幾何中當所給的圖形的位置和形狀不能確定時，就需要運用分類討論的思想方法進行解答。如等腰三角形的邊長為4和9兩種，求周長；又如數軸上與某個點的距離是5的點；又如某數的平方等于9，求這個數等。各種各樣的分類討論的情況有利于提高同學們空間想象能力、邏輯思維能力，從而避免偏激片面的不良思維品質，提高學生的素質能力。
6、聯想的思想方法
聯想是問題轉化的橋梁。哲學家康德說過：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，相似的思考往往能指導我們前進”。牛頓看見萍果落地引發聯想最后發現了萬有引力定律。教師必須重視培養學生的聯想思維，諸如類比聯想、化歸聯想、數形聯想、因果聯想等思想方法，使學生產生靈活思維，展開聯想的翅膀飛翔。
7、 逆向思維的思想方法
用逆向思維的方法能激發學生思維的廣闊性。初中學生的思維活動往往單純，只會按照習慣的思維定勢去分析問題，遇到與逆向思維有關的問題往往容易出錯。如：兩個負數相加比兩個正數相加容易出錯；加減法消元時，兩式相減比兩式相加容易出錯；因式分解時常會對結果是否要乘開又混淆不清。所以在平時教學中對加與減、乘和除、乘方與開方、多項式的乘法與因式分解等，都應運用逆向思維的變換方式進行運算，從而提高同學們解題能力與靈活性，培養逆向思維，避免易錯之處。
8、化歸的思想方法
數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數學素質教育的一個切入點。
“數缺形，少直觀；形缺數，難入微”，數形結合的思想，就是研究數學的一種重要的思想方法，它是指把代數的精確刻劃與幾何的形象直觀相統一，將抽象思維與形象直觀相結合的一種思想方法。
數形結合的思想貫穿初中數學教學的始終。數形結合思想的主要內容體現在以下幾個方面：（1）建立適當的代數模型（主要是方程、不等式或函數模型），（2）建立幾何模型（或函數圖象）解決有關方程和函數的問題。（3）與函數有關的代數、幾何綜合性問題。（4）以圖象形式呈現信息的應用性問題。采用數形結合思想解決問題的關鍵是找準數與形的契合點。如果能將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產生事半功倍的效果。
數形結合的思想方法，不象一般數學知識那樣，通過幾節課的教學就可掌握。它根據學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內涵。
教學中可以從以下幾個方面，讓學生在數學學習過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對數形結合思想的的主動應用。
滲透數形結合的思想，養成用數形結合分析問題的意識，每個學生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如繩子和繩子上的結、刻度尺與它上面的刻度，溫度計與其上面的溫度，我們每天走過的路線可以看作是一條直線，教室里每個學生的坐位等等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的形與數相結合遷移到數學中來，在教學中進行數學數形結合思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數與數軸，一對有序實數與平面直角坐標系，一元一次不等式的解集與一次函數的圖象，二元一次方程組的解與一次函數圖象之間的關系等，都是滲透數形結合思想的很好機會。
如：直線是由無數個點組成的集合，實數包括正實數、零、負實數也有無數個，因為它們的這個共性所以用直線上無數個點來表示實數，這時就把一條直線規定了原點、正方向和單位長度，把這條直線就叫做數軸。建立了數與直線上的點的結合。即：數軸上的每個點都表示一個實數，每個實數都能在數軸上找到表示它的點，建立了實數與數軸上的點的一一對應關系，由此讓學生理解了相反數、絕對值的幾何意義。建立數軸后及時引導學生利用數軸來進行有理數的比較大小，學生通過觀察、分析、歸納總結得出結論：通常規定右邊為正方向時，在數軸上的兩個數，右邊的總大于左邊的，正數大于零，零大于負數。讓學生理解數形結合思想在解決問題中的應用。為下面進一步學習數形結合思想奠定基礎。
結合探索規律和生活中的實際問題，反復滲透，強化數學中的數形結合思想，使學生逐步形成數學學習中的數形結合的意識。并能在應用數形結合思想的時候注意一些基本原則，如是知形確定數還是知數確定形，在探索規律的過程中應該遵循由特殊到一般的思路進行，從而歸納總結出一般性的結論。
學習數形結合思想，增強解決問題的靈活性，提高分析問題、解決問題的能力在教學中滲透數形結合思想時，應讓學生了解，所謂數形結合就是找準數與形的契合點，根據對象的屬性，將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，就成為解決問題的關鍵所在。
數形結合的結合思想主要體現在以下幾種：
（1）用方程、不等式或函數解決有關幾何量的問題；
（2）用幾何圖形或函數圖象解決有關方程或函數的問題；
（3）解決一些與函數有關的代數、幾何綜合性問題；
（4）以圖象形式呈現信息的應用性問題。
