時間：2023-07-13 09:23:01
緒論：在尋找寫作靈感嗎？愛發表網為您精選了8篇數學中的分析法，愿這些內容能夠啟迪您的思維，激發您的創作熱情，歡迎您的閱讀與分享！
1 追溯型分析法
這種分析法,其思路是把所研究的對象看成是一個整體,并假設該事物是存在的(或成立的),進一步分析其組成的各個部分成立的充分條件. 當這些條件找到了(或成立)時,顯然這些條件就是原事物(或原命題)成立的充分條件. 從而說明結論成立,這種方法叫做追溯型分析法. 其實質是“執果索因”.
例1 若四邊形的兩組對邊相等,則四邊形是平行四邊形.
已知:如圖1,在四邊形ABCD中,AD=BC,BA=CD.
求證:ABCD是平行四邊形.
分析法 連結BD,欲證ABCD是平行四邊形,則需證明AD∥BC,BA∥CD. 可以證∠1=∠2,∠3=∠4,則需證ABD≌CDB,則需先證出AD=BC,BA=CD,BD=DB. 這些條件可以從已知中找到. 問題已解決.
2 構造型分析法
這種分析法,其思路是把所研究對象中的成立的部分和不明確的部分都看成是成立的,這樣,整個事物也就隨之被看做是成立的(這就是構造),然后進行探討、推理,找出不明確部分成立的必要條件,即是整體事物成立的必要條件,也就是通常所說的原命題成立的必要條件. 從而得到解題思路. 構造型分析法常用于解決起點不清晰與輔助元素不明確的問題,它對于開拓思路、添加輔助元素有一定的作用.
例2 已知:在ABC中,AB>AC,AD為∠A的平分線,P為AD上任意一點.
求證:PB-PC
證明 分析給定的圖2,就我們研究事物的整體來說,其中的邊、角和由它所涉及的有關線段等都可看成這個事物的各組成部分,其中PB、PC、AB、AC分別為相應三角形的邊,即該事物中成立的部分.
考慮到PB-PC和AB-AC,可在AB上截取AE使AE=AC,則應有AEP≌ACP,所以PE=PC,從而有PB-PC=PB-PE,AB-AC=BE. 我們希望的是PB-PE
3 前進型分析法
這種分析法,其思路是從整體事物中已經成立的某一部分出發,運用已有的知識經過邏輯推理逐步尋找并擴及到其它部分成立的條件,最終挺進到原事物成立的必要條件,也就是原命題成立的必要條件,使導出的條件恰為問題的答案. 前進型分析法是一種尋求結論或答案的連續探索性分析法,常用于解決結論帶有模糊性的較為復雜的問題.
例3 設在一個由實數組成的有限數列中,任意7個連續項之和都是負數,而任意11個連續項之和都是正數,試問這樣的數列最終能包含多少項.
4 分析綜合法
分析綜合法的基本思路是從命題的充分條件出發,用前進型分析法進行到一個中間目標,又從命題的必要條件出發,用追溯型分析法也追溯到一個中間目標,直到兩者追到同一個中間目標(結果),從而溝通思路,使問題得到解決. 這種方法稱為分析綜合法.
例4 如圖3,已知OA、OB為O的半徑,OAOB,弦AQ與OB相交于點P,切線QC交OB的延長線于C點. 求證:CP=CQ.
思路分析:
分析法:要證CP=CQ,只須∠1=∠2. 因為∠1=∠3,故只須∠2=∠3.(1)
綜合法:觀察已知條件與給定圖形,聯想到添加輔助線:延長AO交O于R連結RQ. 由弦切角定理知∠2=∠R. (2)
在RtAQR與RtAOP中,∠A=∠A,所以∠3=∠R.(3)
【關鍵詞】 初中數學；學習方法；分析法；綜合法
做任何事情都需要講究一定的方法，用對了方法，才能事半功倍，把一件事情做得更好. 在初中數學的學習中也是一樣的，分析問題和解決問題都需要正確的方法.
一、分析法概述
對分析法的運用主要就是把整體的內容分解為若干個部分，是一個從整體到局部，從復雜到簡單的過程，再針對各個部分進行分析和探究. 在數學中的一些證明題中，逆推法就是一種分析法，它的過程就是從一種結果追溯到產生這種結果的原因，不斷地追溯上去，一層一層地分析. 還有，在求多邊形的面積時，通常我們都是把多邊形分解成若干個三角形再進行計算，這也是分析法運用的一種形式. 分析法的運用也可以把一個完整的過程分解成若干個有序的步驟，在我們所學習的列方程解應用題中，就可以把解題過程分解成幾個步驟，如假設，找等量關系并列方程，解方程，檢驗. 通過完成每一個步驟來解決這個問題，可以讓整個過程變得更加清晰，容易理解.
二、分析法的應用
分析法的運用范圍很廣，在一些幾何類的證明題中，分析法的運用具有非常明顯的特征. 下面我將舉例來說明分析法在解決問題的過程中該如何運用，具體說來，就是要從數學題的特征和結論出發，一步步不斷探索，最終達到與題設和已知條件相關聯.
例1 如圖1所示，點P是圓O外的一點，PQ切圓O于點Q，PAB和PCD是割線，∠PAC = ∠BAD. 求證：PQ2 = PA2 + AC·AD.
分析過程：根據已知條件，我們可以很容易得出PQ2 = PA·PB.
這樣，通過逐步地分析就把問題轉化成了我們所熟悉的求三角形相似的問題.
那么再根據已知條件，證明這兩個三角形相似. 連接BD，因為∠PCA是圓內接四邊形ABCD的一個外角，所以∠PCA = ∠ABD. 又因為已知中已經給出的∠PAC = ∠BAD，所以APC∽ADB. 再把整個過程反過來書寫，命題得證.
例2 如圖，在ABC中，AB = AC，∠1 = ∠2，求證：AD平分∠BAC.
這是一道比較簡單的證明題，但分析的方法還是一樣的.
分析過程：要證明AD平分∠BAC，就要得到∠BAD = ∠CAD.
由于這兩個角在不同的三角形內，因此，就要證得ABD ≌ ACD，已知條件中已給出了AB = AC，AD又是公共邊，那么只要證得BD = CD即可. 要得到BD = CD，必須要該三角形的兩個底角∠1 = ∠2，而這剛好就是已知條件. 通過這樣的分析，思路明確了之后，寫出來就很容易了.
三、綜合法概述
綜合法與分析法可以說是兩種相逆的方法，但卻又是兩種有著密切聯系的方法. 綜合法運用的具體過程就是要把事物中的不同部分，各個方面以及相關的要素綜合起來，從整體上來考慮. 也是根據已知條件推導出結論的一種思維方法. 比如我們在學習有理數的概念時，就需要把正整數，零，負整數，正分數，負分數，綜合起來研究并形成有理數的概念，這樣我們對有理數的概念才能有更加深刻和清晰的理解. 綜合并不是把各個部分進行簡單機械的拼湊，而是要找出各個部分之間的相關性和規律性. 就比如說有理數，它包括很多個部分，而這些不同的部分之間的相同點就是它們都不是無限不循環的數，這也是相對于無理數而言的. 總的來說，綜合法的應用過程是從已知條件出發，根據已知條件再進行適當的邏輯推理，最后達到解決問題的目的.
四、綜合法的應用
下面我們同樣以一道證明題來展示綜合法的具體運用.
例3 如圖，在ABC中，AB = AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點D，∠ADC = 130°，求∠BAC的度數.
綜合法的分析過程：
從已知條件入手，把每一個已知條件發散出來，不斷地得出更多的條件.
根據AB = AC，以及AE是∠BAC的角平分線，可以得出∠DEC = 90°，又因為條件中的∠ADC = 130°，所以∠ECD = 40°.
再根據CD是∠ACB的角平分線，可以得到∠ACB = 80°.
關鍵詞：數學分析； 人文地理； 應用
中圖分類號：G633．55 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2012）02-045-001
在高中地理學習中，學習有用的地理，善于觀察、發現、探究是新課標提出的教育目標。從近幾年高考試題分析中，特別是文綜卷地理的11個選擇題中，我發現用數學知識解決地理問題的考題頻繁出現。說明其越來越被命題組專家們看好。此方法在自然地理中應用很廣，在人文地理特別是在區位、交通、人口、環境等重要專題也有很多應用。在高三總復習將“知識考點化，考點題型化，題型模式化”的教學實踐中，我把用數學分析的方法在人文地理中的應用作了總結，大體上歸納了以下類型：
一、極值法
數學中有求最大值、最小值的方法叫極值法，這種方法也可在人文地理中應用。人類活動（農業、工業、交通、商貿等）總是以最小的投入獲得最大的產出即效益(經濟效益、環境效益、社會效益)最大化為原則。
例1 2005年全國高考文綜卷一第8-9題
假定工廠選址時只考慮運費,且運費與所運貨物的重量和運具有關。某原料的原料供應指數等于該原料重量與產品重量之比。下圖中，O點到原料M1 M2產地和市場N的距離相等。據此回答1-2題：1.如果工廠選址O點最合適，那么
A.M1的原料指數大于M2的原料指數
B.M1、M2的原料指數都大于1
C.生產1個單位重量的產品分別約需要0.5個單位重量的M1、M2
D.生產1個單位重量的產品分別約需要1個單位重量的M1、M2
2.若生產2個單位重量的產品，需要3個單位重量的原料M1，2個單位重量的M2，
那么，工廠區位最好接近以下四點中的（ ）
A.N B.P C.Q D.R
【分析】：總運費（s）＝運距＊運量＊運費／噸公里
＝OM1（a）＋OM2（b）＋ON（c）三段路程運費之和。
要使總運費最少，就得使三段路程運費之和最小 。
因此，要使總運費最少，就得使三段路程運費都相等。
根據題意：工廠選址O點最合適，說明總運費最少。運距OM1＝OM2＝ON，而且運費／噸公里都相同，所以，三段的運量必須相同。即運量OM1＝OM2＝ON，也就是原料的運輸量和產品的運輸量相等。因此，原料供應指數＝1。第一題選D。
這樣，利用不等式最小值的方法巧妙地解決了第一題。
分析第二題：同樣根據總運費（s）＝運距＊運量＊運費／噸公里，使總運費最少就得使三段路程運費都相等，噸公里運費相同，因此，運量與運距成反比。得出運量大、運距短的結論。最好區位應接近P點。第二題選B。
二、圖像分析法
利用統計數據建立起數學圖像或模型（Ecxel的相關功能很強大）,然后通過圖像或模型分析，找出地理特征或規律的方法，叫圖像分析法。如三角坐標圖、人口金字塔圖、各類統計圖（線狀、柱狀、扇形、雷達圖、直角坐標象限圖）及其復合圖。
學習高中地理湘教必修2《1.3人口遷移》一節時，我常選用這道題做例題。
例2.人口遷移率指人口遷移數與總人口的比例，正值為遷入。讀圖回答：
圖中四個地區人口增長速度最快和最慢的分別是（ ）
A.A,C B.B,D C.C,D D.A,D
【分析】：人口增長的速度應該與人口自然增長率＋人口遷移差額率的和成正相關。
分析圖中數據得到下表，
那么，人口增長最快的是A，最慢的是D，故此題選D選項。
三、數據處理法
利用統計圖、表提供的數據，通過對其二次處理得到新的圖像或有用的數據，解決實際問題的方法。
例3.（2004年文綜，湘版全國卷7－9題）下表顯示了我國陸路交通的部分數據，據此回答：
（1）2002年我國鐵路客運與公路客運相比較
A.鐵路客運的平均運距與公路相同 B.公路在短途客運方面有優勢
C.鐵路短途客運量周轉量與公路相同 D.鐵路客運的平均運距相當于公路的3倍
（2）1980-2002年間，我國鐵路交通
A.在客運中的比重穩步提高 B.單位營運里程的客運量呈下降趨勢 C.與公路交通相比，客運的平均運距增長較慢
D.與公路交通相比，旅客周轉量增長較快
根據公式和表中的六項數據指標進行數據分析：
第(1)題2002年我國鐵路的平均運距為:4969/10.56≈470.55千米,公路客運的平均運距為：7806/111.63≈69.93顯然,二者相差較大A,D錯。同時，說明公路在短途運輸方面有優勢,B正確。而C沒有相應的數據指標。
第(2)題同樣經過對數據的分析處理得出B正確。
【關鍵詞】初中數學；分層次教學；意義；分析研究；實踐；體會
中圖分類號：G623.5
在我國，初中數學教學通常是以學科教學大綱為教學基準的。學生在升入初中時，因個人及家庭等因素的影響導致學生個體差異較大，從而在學習基礎上也表現的各有不同。數學是一門系統性、科學性較強的學科，它的嚴密的體系和知識結構決定了數學教學學習必須按照可接受原則。學生在日常學習中如果某個知識點掌握不到位很容易對后面所學知識造成影響。所以教師在教學的同時應該特別關注學生的個體差異，實施分層次教學法做到因材施教。
1、分層次教學的意義
分層次教學是一種適合因材施教的教學方法，又是新課程理念的要求。它結合學生的自身特點進行教學。不同的學生具有不同的學習動機、學習興趣、學習能力和學習方法等都有不同，這些不同中智力水平差別是最影響學習效果的因素。針對不同學生確定不同的教學目標，采用不同的教學方法才是因材施教。分層次教學是根據學生的不同劃分層次，主要是按照成績差別來分層，按照不同層次的學生進行教學組織，是符合因材施教的要求的。教師是按照學生的實際能力提出不同層次的目標，讓學生自己選擇適宜自己的教學目標，同時在學習中表現為達成目標所作出的積極行為。
2、分層教學實施的原則
在分層次教學法實施的過程中應該遵守以下原則①在分層時把學習成績相近的學生分為同一層；②在確定各層次教學方法、目標、作業、練習時，應讓學生跳一跳，才能達到為宜，在分層中感受到成功的快樂；③因為各層次教學要求不同，所以在課堂上以學、議為主，教師要善于激趣、指導、引思、精講，調控好各層次學生的學習，做好分類指導；④分層是可變的動態的，有提高的可以升級，有退步的可以轉級，保證分層結果保密；⑤對各層次學生的評價，按照縱向性原則。
3、初中采取分組數學教學的實踐
⑴教學目標的分層。給不同層次的學生制定不同的目標和要求，數學教師可根據教學大綱的要求，從而針對不同的學生制定不同的教學內容，對于數學基礎較好的上層學生，他們學習數學的興趣和動力較強，應盡量提高學生的聽說讀寫能力，增加課外教學內容，開闊學生視野。對于下層的學生，應盡量降低一些要求，盡量讓其能夠對課本的基礎知識能夠掌握即可。
⑵授課內容和方式的分層。對于不同層次的學生使用不同的教學內容，這是進行分層教學的直接要求，也是實現分層教學的重要保證，教師應根據教學層次和教學目標的要求選用不同的教材，對于基礎知識較好的上層學生，應加強其聽說外延思考能力，重點培養學生的思考方式，讓學生對一個問題采取多種解決方式，對于基礎知識較弱的下層學生應注重在夯實基礎的上，提高自身的數學基礎知識的理解和簡單應用上。
⑶課堂練習的分層。分層練習是分層教學的重要環節，其目的在于強化各層學生的學習效果，及時反饋、檢查學習效果，把所掌握的知識通過分層練習轉變成技能，實現逐層落實學習目標的效果。教師要在備課時，根據學生實際和教材內容精心設計課堂練習的不同層次，在設計三個不同層次的練習時，要遵守基本要求相同，激勵個體發展的規則。
⑷課后訓練的分層。課后訓練分層是指教師在授課之后，根據學生的能力和水平布置不同的作業，簡單來說，其可以分為必做題和選做題兩部分，其中必做題中是一些基礎知識和簡單綜合題目，這給基礎較差的學生提供了練習的機會。選做題是一些相對難度比較大的綜合題目，可以有效滿足上層學生的求知欲，提高學生學習數學的興趣，同時也能提高學生的發散思維能力，同時，通過做一些較難的題目，查找自己的不足，防止優秀學生滋生驕傲自滿情緒。
⑸課外輔導的分層。分層次教學的目標是減小層次差別。教師要培優補差，利用課余時間積極開展第二課堂，要重點對低等層次學生的輔導，監督他們認真完成作業，對有所進步的學生及時進行表揚。教師要按照循序漸進的方法，從起點開始，耐心地做好輔導工作。積極改變傳統教學弊病是優化教學過程的需要，發揮分層次教學的優勢，不斷提高數學教學質量。
4、初中數學分層教學體會
⑴課堂教學是搞好分層教學的關鍵。優化教學方法，做好常規課前、課中、課后的各項工作，認真鉆研教材，課堂教學真正體現“教師為主導，學生為主體”的教學思想，并結合學生實際，合理創設情境，誘發學生的認知需求和創新欲望，使學生從情感、思維和行為上主動參與學習；使學生充分認識到自己教學主體的地位，充分營造各種環境，讓學生融入到教學環境中去。
⑵做好課后輔導工作，提高教師素質。同許多初中教師一樣，筆者也感到現在的學生在學習習慣、學習態度和行為方式上都出現了一定的滑坡，而且這種下滑趨勢在短期內似乎還難以逆轉。作為剛升入初中的新生，很多學生缺乏學習的自覺性和主動性，時常不能按時完成基本學習任務，甚至出現厭學情緒；針對這種現狀，課外輔導和心理溝通就顯得尤為重要。為了幫助他們樹立學習的信心，初中教師必須通過各種措施對初中學生進行心理輔導，很多時候，課堂教學中只要能夠做好學生的心理輔導，課堂教學任務就成功了一大半，筆者在課堂教學中經常有意識地通過一些淺顯易懂的問題為他們提供發言機會，給他們自我表現的機會，同時對他們在學習中的點滴進步，都給于表揚和鼓勵，使他們重新樹立起學習的勇氣。
5、結語
綜上所述，初中學校的數學分層教學是一種因材施教的表現，它不僅可以促進初中數學教學改革，還可以激發學生的學習興趣。分層次教學是以學生的不同個性為參考依據的，可以使各個水平上面的學生都能學到相關知識。在教學過程中應該明確注意到層次目標分明，內容難易適中，加強學生雙基訓練以此來確保學生的個性發展，達到教育教學的最終目的。
參考文獻
關鍵詞 初中數學 分層教學法
一、分層教學的必要性
班級內，學生群體上，個體間的差異普遍存在，而且多種多樣，諸如智力差異、學習基礎差異、學習品質差異、學習態度差異、學習目的差異、學習環境差異等等。心理學的研究結果表明：學生的學習能力差異是存在的，特別是學生在數學學習能力方面存在著較大的差異這已是一個不爭的事實。造成差異的原因有很多，學生的先天遺傳因素及環境、教育條件都有所不同，還有社會因素（即環境、教育條件、科學訓練），這些原因是對學生學習能力的形成起著決定性作用，所以學生所表現出的數學能力有明顯差異也是正常的。教育要面向班級每一個學生，每一個學生都有獲得知識和享受應有教育的權利。班級教學不能“放棄”任何一名學生，不能只針對某一個層次的學生，但又要滿足每一個層次學生學習和進一步提升的需要。初中數學新課標要求學生分層次提高，進而達到班級學生的最優化組合。按照教育家達尼洛夫關于教學過程的動力理論之說，認為只有學生學習的可能性與對他們的要求是一致的，才可能推動教學過程的展開，從而加快學習成績的提高，而這兩者的統一關系若被破壞，就會造成學業的不良后果。“分層教學”，實際是在大班教學的背景下，將學生依據學習情況分成幾個不同的層次，在此基礎上，對不同的學生開展不同的教育，實行不同的教學方法、制定不同的教學目的、采用不同的評價標準，從而努力使不同程度的學生在班級學習中，都能在自己已有的程度下獲得知識的進一步提升，實現班級教學水平的整體提升。
二、分層教學的過程
備課時，教師認真研究教材，抓住問題的本質，了解知識的發生、發展、形成過程，設置合理的認知層次：形象記憶性內容設為第一梯級，保證后進學生“吃得了”；抽象理解性內容為第二個階梯，使中等學生“吃得好”；知識擴展性內容為第三個梯級，滿足優等學生“吃得飽”。 作業是鞏固和提高學生所學知識的中要途經。針對不同層次的學生，布置不同的作用，才能避免差生在難題面前的受挫和無奈，也能避免優等生對大量基礎題的趣味索然，使不同類型的學生都能在作業中得到自己所需的：鞏固，還是提高，都能給以滿足。
“分層次”教學法在遵循由淺入深，由易到難的一般講課規律的基礎上，在知識和時間的安排上做了較大的改進。就新授課而言，對于不同層次的學生，在不同的教學目標下，應該才用不同的實現手段，及教學方式。如，對于成績優秀的學生，可以進行探索式的教學方式，對其思維進行更深層次的訓練；而對于依靠努力取得成績的這一類稍差一點的學生，則不妨通過各類題型的講解以及拔高題目的訓練，開拓其視野，使其掌握相對較深的解題思路；對于又差一點的學生，基礎知識的理解和掌握，則顯得十分重要。既要明確不同層次學生回答相應層面的問題，又要激勵低層面學生回答高層面的問題，完成高組的任務。分層上課就是教師在數學教學過程中，能兼顧各類層次的學生，讓其主動參與獲得發展，克服過去單一教學的傳統模式，按照分層備課的歸類，在施教過程中得以完成。
成功感是人們順利完成一項工作的重要因素。學習也是如此。在以上分級授課的基礎上，學生順利完成了本梯級的學習任務，而且經常超級答問和超級完成作業，這時，教師應進一步培養其信心，改革考查方法，讓學生得到滿意的分數。分層教學的一個前提在于對學生進行評估，依照一定的標準對學生進行分層。在此之前，應征的學生的同意，在于他們進行充分的交流和溝通之后，使他們理解并自愿接受分層；在分層過程中，老師的評估應得到學生的自我認可，自愿將自己歸于某一個層次，只有這樣才能充分調動其學習的積極性。否則，操作不當，很容易引起學生的反感和抵觸，適得其反，影響正常的教學秩序。
1.興趣啟發。對中學生來說，學習的積極性首先源于興趣。正如“知之者，不如好之者；好之者，不如樂之者”，興趣是直接推動學生主動學習的內在動力，它促使學生去追求知識，探索科學的奧秘。我們經常說某位數學教師教學有方，“開竅”有術，就是指教師能“寓教于樂”，善于運用生動形象，具體鮮明，準確精煉，妙趣典雅的語言進行教學，使學生領會知識的同時，得到藝術美、科學美的享受，從而引起學生強烈的學習興趣。
2.質疑啟發。“學起于思，思源于疑”。教育心理學研究表明，疑最容易引起定向――探究反射。有了這種反射，思維也就應運而生，恰當地設“障”立“疑”，使學生有所想，聯系新舊知識，設想種種解答方案，促使學生頭腦中思維波濤迭起，自覺地由疑到信，從而收到良好的教學效果。
3.攻難啟發。積極的思維與疑難并存，教師在教學中要精心地設置一些有一定難度，但經過努力可以解決的問題，有意地讓學生“跳起來摘摘桃子”“碰碰釘子”，在難題面前，學生的思維高度集中，他們會運用已有的知識，積極地思考，大膽地探索。在教師恰當地誘導與啟發下，學生通過自己的勞動攻克難關，獲得知識，會產生一種愉快的心理，感受到學習的歡樂。不過，在攻難的過程中，應該把握好“度”。難度太大，學生會畏難而退；難度太小，學生不用思考就會得到答案，達不到啟發的效果。
4.動情啟發。教師把正確的觀點與入情入理的主題講述清楚，并寓于生動感人的具體事例中，有助于突出主題，強化認識。在引導學生明理激情的過程中，教師要自己先做到感情豐富，講課直觀形象、生動活潑，抓住啟發學生感情的熱點，重視學生情感的激發，做到有情有理，情景交融，以情感人，使學生從中得到啟發。
5.分析啟發。所謂分析就是“執果溯因”的思維方法。教師從命題的結論出發，逆推而上，提出一系列“欲證之，先要證什么”的問題，引起學生的思索，直溯到命題的條件或所學習的公理、定理、法則、公式等。這種分析啟發能培養學生有規律地探索解題思路，有利于發展邏輯思維能力，不僅為數眾多的習題在解答之前需要分析啟發，而且教材中大量定理、公式等在證明之前，也應進行這種分析啟發。
6.歸納啟發。就是讓學生對某些特殊事物進行分析和比較，抽象出個別特征，并分出本質的特性而舍棄非本質的東西，從而歸納出這類事物的一般特性，或者形成概念，或者形成法則和公式。這有利于培養學生的抽象能力和概括能力。
7演繹啟發。演繹是從一般到特殊的思維形式。它是關于特殊事物同某種一般事物相適應的思想，演繹啟發就是引導學生根據過去所獲得的關于某種事物的一般性的認識（大前提），去指導自己認識這類事物中某個或某些新的個別事物（小前提）而得出正確的結論。這種啟發是使學生獲得新知識，認識新事物的重要方法，它可以使學生在遇到新問題時容易找到思考和解決問題的途徑，對發展學生的抽象思維能力是有意義的，它在概念、規律的應用教學中經常用到。
8.類比啟發。就是引導學生把所要研究的新問題與之有關的原有知識和方法進行比較，使學生認識到它們的共同特點和規律，從而以熟悉的方法和知識去解決新問題。類比有利于發展學生求同思維，培養學生舉一反三、觸類旁通的能力，促進知識能力的遷移。對于有區別但是類似的概念、運算、證明、作圖等，常可運用類比啟發。
9.直覺啟發。是給出實物、模型或圖形等讓學生觀察，在教師的指導下，使學生獲得對一類事物的某種特殊性的認識，這種啟發有利于培養學生敏銳的觀察事物的能力和周密的審題能力。在引出定義或定理、公式時較為有用。
10.多解啟發。對于一些可用多種途徑解決的問題，可以啟發學生運用不同的知識、方法，從不同的角度加以解決。這種啟發能使學生用變化的觀點看待客觀條件，不斷地想出新措施，以培養思維的靈活性、敏捷性和廣闊性。
【關鍵詞】初中數學；數學教學；分層教學法；教學效果
新課標指出現階段的數學教學應面向全體學生，使所有學生都能夠真正學習到有價值及必要的數學知識，同時還應使不同的學生在數學上獲得不同的發展。然而，傳統的教學方法已經很難適應當前的初中數學教學。為此，將分層教學法應用到初中數學教學中就顯得尤為重要。
一、分層教學及開展分層教學應遵循的原則
1.分層教學法
分層教學法是目前課堂教學中較為實用的一種教學方法，具體是指在學生個體特點存在明顯差異的情況下，為了達到不同層次的教學目標，教師有針對性地對學生采取分層次教學的一種方法。在同一個班級中進行教學時，應按照學生個體情況的不同，開展分層教學，這就要求教師不僅要對學生進行分層，同時還要對其學習目標進行分層，通過這樣的分層可以使課堂教學活動的開展更具針對性、更有目的性，進而使每一名學生在學習的過程中都能學有所得。由于初中學生的心理認知規律已經基本形成，為此在實施分層教學時，教師應遵循這一規律進行課堂教學，這樣才能獲得意想不到的教學效果。
2.開展分層教學應遵循的基本原則
（1）因材施教原則。該原則要求教師應以學生的實際情況為出發點，并按照學生的個體差異有針對性地開展課堂教學，以此來實現教學目標。這一原則的根本就在于強調學生之間的個體差異，由于學生的接受能力和知識水平均有所不同，故此教師在應用分層教學法進行教學時，必須從學生的個體特點出發，進行因材施教，這樣才能真正發揮出分層教學法的最大作用，進而達到提高教學效果的目的。
（2）循序漸進原則。這一原則主要是指教師在運用分層教學法時，應根據科學的邏輯性和學生的認知發展來進行教學，重點應突出學生知識層次和思維能力的培養，使學生可以更為系統的掌握數學這一學科中的基礎知識以及應用方法。
二、分層教學法在初中數學教學中的應用效果分析
1.學生分層效果分析
在初中數學教學過程中，對學生進行分層是分層教學法的重要環節之一。學生分層不僅要切合實際，不能偏離學生的實際情況，而且還要合情合理，避免傷害到學生的自尊心，從而影響學生的學習積極性。學生分層可以從兩個方面進行，一方面是針對剛入學的新生進行分層，可根據學生在小學時的畢業成績為主要分層依據，需指出的是這種分層應當是暫時性的，當學生學習成績有所進步或退步時，則應進行重新分層，這樣有利于調動學生的學習積極性；另一方面是班級內的學生分層。一般可將班內學生分為優等生、中等生和偏差生這三個層次，教師在分層時必須掌握好尺度，并且要認真了解每一個學生的具體情況，各個層次中的學生數可按照班級實際情況而定，盡量不要按固定的數目來安排學生，同時應在每次考試以后進行重新分層，這樣不僅能夠激發學生的上進心，而且也更容易完成教學任務。
2.教學目標分層
在對學生進行分層以后，為了有效地提高教學效果，應對教學目標進行分層。具體方法是針對不同層次的學生制定不同的教學目標，并采取不同的教學策略，這樣才能充分地體現出分層教學的作用。例如，對于優等生，可以設計一些難度較大的問題并積極鼓勵其在完成課堂教學內容的前提下進行自學，這樣有利于培養其創新思維能力；對于中等生，首先要求他們能夠對課堂所學的基礎熟練掌握，在此之上為其設計一些一般難度的問題，這樣可以拓寬其理解和思維能力；對于偏差生，教師應通過多提問、多鼓勵、多輔導的方式，增強這部分學生的基礎，并激發他們學習數學知識的興趣，在為其設計問題時，應以簡單的問題為主，并適當參入一些稍有難度的問題，這樣可以調動起他們的求知欲望。通過對不同層次的學生制定不同的教學目標，能夠有效地提高教學效果。
3.教學內容分層
教學內容的分層應以上述兩種分層為前提，這樣有利于教學內容細化。教師可通過由淺入深、由易到難、分層設疑、分層提問的方式進行教學內容分層。這就要求教師在課堂教學中，既要考慮到全體同學的要求，又要顧及到不同層次學生的個體差異。只有全方位地進行考慮才能真正使教學內容分層發揮出應有的作用，進而達到提高教學效果的目的。
4.評價分層
以往對學生的評價，幾乎都是憑借一張考試卷來完成的，這種評價方式過于單一，弊端也是顯而易見的。而分層評價不但重視對學生學習成績的評價，而且更注重的是發展和發掘學生各方面的潛在能力，幫助其建立自信心，這也是對學生學習過程的一種肯定。評價分層的最大特點就在于評價的多元化，如果只重視結果評價，不重視過程評價則會使學生努力的過程被忽視，這有可能打消學生的學習積極性，從而起到反效果。通過多元化評價，可以更好地鼓勵學生在各自的起點上不斷前進，這樣每個學生都會獲得成功的喜悅，必然會使學習形成一個良性循環，學生學習成績的提高就是對教學效果最大的肯定。
總而言之，通過大量的實踐證明，分層教學法在初中數學教學中的應用效果是顯而易見的，分層教學在對學生的智力因素和非智力因素予以充分利用的基礎上，有效地激發了學生學習數學的興趣，學生的學習積極性也被這種教學方法充分地調動，其在為學生創造愉悅學習環境的同時，減輕了學生繁重的學習壓力，進而大幅度提高了學生的學習效率。
參考文獻：
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[2]王立志.導學式分層教學法在初中數學教學中的應用[J].中國科教創新導刊.2008(7).
關鍵詞：初中教育；數學；分層教學法
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）33-158-01
在傳統教育模式的影響下，現階段的初中數學教學絕大部分都是大班授課制度，此種教學方法雖然在我國教育發展史上起到了重要的推動制度，但其對于學生數學技能及知識水平的培養效果卻不是最佳的。因為學生的生理成長狀態、智力、數學基礎、學習能力等各個方面都是具有差異性的，在這些差異性的基礎上大班授課制是無法滿足學生們的學習需求的，因此必須要有新的教學方法來改變這一教學現狀，至此分層教學法應運而生。分層教學法的出現不僅改變了初中數學的教學模式，更實現了新課程改革下實現學生全體進步的教學目標，正因如此分層教學法受到了初中數學教師的普遍關注與使用，并在實踐教學活動中得到了不錯的教學效果。
一、教學主體的分層
學生是數學教學活動的主體，在數學教學過程當中所有的教學活動都是圍繞學生來展開的，所以在分層教學初期必須要先對學生進行分層，只有對學生進行科學、恰當的分層才能夠保證分層教學法的教學效果和有效性。筆者在采取分層教學法進行教學的過程中，首先在班級進行了階段性小測驗和問卷調查，小測驗當中主要分為基礎知識、難度問題以及靈活性問題三個部分，其測驗的目的是為了掌握每一個學生的數學基礎知識掌握水平，現階段的數學學習水平以及數學學習能力。而問卷調查則是為了了解學生眼中的數學，看看他們對數學學科的認知、學習興趣有多少。在此基礎上筆者將學生分為了A、B、C三個層次：A層學生數學基礎知識扎實，學習興趣濃厚，學習能力及思維靈活性強；B層學生數學基礎知識比較扎實、有一定的學習興趣，學習能力及思維靈活性一般；C層學生數學基礎知識不夠扎實、學習興趣不高，學習能力及思維靈活性較差。為了避免學生產生消極或自卑的心理，筆者在將學生進行合理的分層后，與學生探討了自己的教學想法，并將各自的分層告訴他們，讓他們放下心理負擔，根據筆者的教學計劃來進行學習，以期在教學活動完成后收到良好的教學效果。
二、教學目標的分層
教學目標是在教學主體分層的基礎上來進行的，其根據不同層次學生的學習狀態、學習水平以及學習態度來為他們設定出具有實際意義的、且能夠完成的教學目標。在這一環節當中，筆者建議教學目標設置的不要過難或過大，以免學生無法完成而對他們的學習自信和學習態度產生消極影響。根據不同層次學生的實際學校特點，筆者為他們設計了不同層次的教學目標：A層學生以課外訓練、實踐和突破為主，學會將數學理論知識運用到實際生活當中，以達到學以致用的學習狀態；B層學生以課內難度提升，解題思路的拓寬，思維邏輯性及敏捷性的提高為主，以達到能夠獨立解決中、高等難度習題的水平；C層學生以夯實數學基礎知識，培養數學學習興趣，樹立正確的數學學習態度等方面為主，以達到學生能夠對數學學科產生正確的認識和理解為主，進而主動的去學習數學知識。
三、教學內容的分層
教學內容的分層是整個分層教學活動中的關鍵環節，這一環節的教學分層工作會直接對整個分層教學的效果產生直接影響。在這一環節當中教師必須要注意好對教學內容難度的拿捏，根據不同層次學生的學習水平以及為他們制定的教學目標來由淺入深、由簡至繁的對教學內容進行分層，通過有效的課堂提問與習題訓練，來設置好教學內容的難度梯度，進而達到對不同層次學生的數學能力培養。例如筆者在進行因式分解的教學時就為學生做好了內容分層：
例題：多項式m（n-2）-m2（2-n）分解因式等于（ ）
A.（n-2）（m+m2） B.m（n-2）（m+1）
C.（n-2）（m-m2） D.m（n-2）（m-1）
在這道因式分解題當中，A層學生需要自己進行運算，來得出結果；B層學生則可以在4個選項當中選擇出自己認為正確的選項；而C層學生只需要在A與B兩個選項當中進行選擇就可以。這一樣不僅能夠節省教師在為不同層次學生準備教學內容的實踐，還能夠實現利用同一個內容來對不同層次學生的學習水平和學習能力的鍛煉，其效果可謂是事半功倍。
四、課后復習的分層
課后復習是整個分層教學過程中的總結階段，其雖不像前三個環節那樣會對學生的學習效果產生直接的影響，但其對于學生數學基礎知識的掌握、端正學習態度、以及內部學習動力的影響也是非常重要的。筆者在課后復習分層環節當中，對于A層學生筆者主要以難度實用性訓練為主，以培養學生解決實際問題及高難度數學問題的能力；B層學生筆者主要以課內拓展訓練為主，以提高學生的數學解題能力，鍛煉學生的數學邏輯性思維及頭腦行靈活性；C層學生則主要是對例題同類型習題的訓練和學習為主，讓學生加深對例題解題方法、解題思維以及解題切入點的鍛煉，切實提高他們的數學學習水平。
世界上沒有兩片相同的葉子，同樣也沒有兩個完全相同的人，所以學生之間存在的差異性是生理發展的必然規律。教師只有對學生之間存在的差異性給予充分的肯定，才能夠實現教學工作當中學生的共同進步。由于數學學科的學習需要學生具有一定的邏輯思維能力，所以學生在學習過程中會遇到一定的難度，在這種情況下，分層教學方法的使用非常有必要，其不僅能夠激發出學生對數學學科的興趣，實現數學學習水平的進步，還能夠幫助學生樹立起數學學科的學習信心，以便學生在未來學習過程中，即使遇到了難題也能夠從容的面對，并將其正確的解答出來。
參考文獻：
[1] 張榮輝.分層教學法在初中數學教學中的探索與實踐[J].中學教學參考，2013.14：21-22.
