時間：2023-03-15 15:01:10
緒論：在尋找寫作靈感嗎？愛發表網為您精選了8篇等差數列教案，愿這些內容能夠啟迪您的思維，激發您的創作熱情，歡迎您的閱讀與分享！
2.等差數列的通項公式，并能用來解決有關問題。
重點：1.要證明數列{an}為等差數列，只要證明an+1-an等于常數即可(這里n≥1,且n∈N*)
2.等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d(n≥1,且n∈N*).
3.等到差中項：若a、A、b成等差數列，則A叫做a、b的等差中項，且難點：等差數列“等差”的特點。公差是每一項(從第2項起)與它的前一項的關絕對不能把被減數與減數弄顛倒。
等差數列通項公式的含義。等差數列的通項公式由它的首項和公差所完全確定。換句話說，等差數列的首項和公差已知，那么，這個等差數列就確定了。
過程：
一、引導觀察數列：4，5，6，7，8，9，10，……
3，0，-3，-6，……
，，，，……
12，9，6，3，……
特點：從第二項起，每一項與它的前一項的差是常數—“等差”
二、得出等差數列的定義：(見P115)
注意：從第二項起，后一項減去前一項的差等于同一個常數。
1.名稱：AP首項公差2.若則該數列為常數列
3.尋求等差數列的通項公式：
由此歸納為當時(成立)
注意:1°等差數列的通項公式是關于的一次函數
2°如果通項公式是關于的一次函數，則該數列成AP
證明：若它是以為首項，為公差的AP。
3°公式中若則數列遞增，則數列遞減
4°圖象：一條直線上的一群孤立點
三、例題：注意在中，，，四數中已知三個可以
求出另一個。
例1(P115例一)
例2(P116例二)注意：該題用方程組求參數
例3(P116例三)此題可以看成應用題
四、關于等差中項：如果成AP則證明：設公差為，則例4《教學與測試》P77例一：在-1與7之間順次插入三個數使這五個數成AP，求此數列。
解一：是-1與7的等差中項
又是-1與3的等差中項
又是1與7的等差中項解二：設所求的數列為-1，1，3，5，7
五、判斷一個數列是否成等差數列的常用方法
1.定義法：即證明例5、已知數列的前項和，求證數列成等差數列，并求其首項、公差、通項公式。
解：
當時時亦滿足首項成AP且公差為6
2.中項法：即利用中項公式，若則成AP。
例6已知，，成AP，求證，，也成AP。
證明：，，成AP
化簡得：
=，，也成AP
3.通項公式法：利用等差數列得通項公式是關于的一次函數這一性質。
例7設數列其前項和，問這個數列成AP嗎?
解：時時數列不成AP但從第2項起成AP。
五、小結：等差數列的定義、通項公式、等差中項、等差數列的證明方法
六、作業：P118習題3.21-9
七、練習：
1.已知等差數列{an}，(1)an=2n+3,求a1和d(2)a5=20,a20=-35,寫出數列的通項公式及a100.
2.在數列{an}中，an=3n-1，試用定義證明{an}是等差數列，并求出其公差。
注：不能只計算a2-a1、、a3-a2、a4-a3、等幾項等于常數就下結論為等差數列。
3.在1和101中間插入三個數，使它們和這兩個數組成等差數列，求插入的三個數。
4.在兩個等差數列2，5，8，…與2，7，12，…中，求1到200內相同項的個數。
分析：本題可采用兩種方法來解。
(1)用不定方程的求解方法來解。關鍵要從兩個不同的等差數列出發，根據
相同項，建立等式，結合整除性，尋找出相同項的通項。
(2)用等差數列的性質來求解。關鍵要抓住：兩個等差數列的相同項按原來的前后次序仍組成一個等差數列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數。
5.在數列{an}中,a1=1,an=,(n≥2),其中Sn=a1+a2+…+an.證明數列是等
差數列，并求Sn。
分析：只要證明(n≥2)為一個常數，只需將遞推公式中的an轉化
為Sn-Sn-1后再變形，便可達到目的。
6.已知數列{an}中，an-an-1=2(n≥2),且a1=1，則這個數列的第10項為()
A18B19C20D21
7.已知等差數列{an}的前三項為a-1,a+1,2a+3,則此數列的公式為()
A2n-5B2n+1C2n-3D2n-1
8.已知m、p為常數，設命題甲：a、b、c成等差數列;命題乙：ma+p、mb+p、mc+p
成等差數列，那么甲是乙的()
A充分而不必要條件B必要而不充分條件
C充要條件D既不必要也不充分條件
9.(1)若等差數列{an}滿足a5=b,a10=c(b≠c),則a15=
(2)首項為-12的等差數列從第8項開始為正數，則公差d的取值范圍是
(3)在正整數100至500之間能被11整除的整數的個數是
10.已知a5=11,a8=5,求等差數列{an}的通項公式。
11.設數列{an}的前n項Sn=n2+2n+4(n∈N*)
(1)寫出這個數列的前三項a1,a2,a3;
(2)證明：除去首項后所成的數列a2,a3,a4…是等差數列。
在本節課教學設計中，以學生身邊的一個事例為背景，創設一個數學情境，激發了學生的學習興趣和探究熱情，體現了“人人學有價值的數學”的教學理念。教師引進著名數學家高斯十歲時所做的一道計算題，通過此題的解法讓學生發現規律，從而探索出等差數列的前n項和公式的推導過程。這個過程反映了數學思維方法的靈活性，從學生豐富多彩的解答中，我們看到了“不同的人在數學上得到不同的發展”。
【教學背景】
所授班級為普通班，學生的數學認知水平高低不一，所以，教師在問題探究的設置上要體現出知識的層次，力求使所有學生都能參與各種問題的探究。
【教學設計】
一、教材分析
1.教學內容
“等差數列的前n項和”為蘇教版必修5第二章第二節的第一課時，主要內容是等差數列前n項和的推導過程和簡單應用。
2.地位與作用
本節對“等差數列的前n項和”的推導，是在學生學習了等差數列通項公式的基礎上進一步研究等差數列，其實學生已掌握等差數列的性質以及高斯求和法等相關知識。對本節的研究，為學習數列求和提供了一種重要的思想方法――倒序相加求和法，具有承上啟下的重要作用。
二、目標分析
1.教學目標
（1）掌握等差數列的前n項和公式及推導過程。
（2）會簡單運用等差數列的前n項和公式。
（3）結合具體模型，將教材知識和實際生活聯系起來，使學生感受數學的實用性，有效激發學習興趣，并通過對等差數列求和歷史的了解，滲透數學史和數學文化。
2.教學重點、難點
（1）重點：等差數列前n項和公式的推導和應用。
（2）難點：等差數列前n項和公式的推導過程中滲透倒序相加的思想方法。
三、教學模式與教法、學法
本課采用“探究―發現”教學模式。
教師的教法：突出活動的組織設計與方法的引導。
學生的學法：突出探究、發現與交流。
四、教學活動設計
1.新課引入
創設情境：一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支。這個V形架上共放著多少支鉛筆？
問題就是（板書）“1+2+3+4+…+100=？”
設計意圖：利用實際，生活引入新課，形象直觀。
2.探索公式
介紹數學家高斯，然后提出問題：高斯是如何快速計算1+2+3+4+…+100？設等差數列{an}前n項和為Sn，則：Sn=a1+a2+…+an-1 +an
問題1：
老師：利用高斯算法如何求等差數列的前n項和公式？
學生：1+100=101，2+99=101，…50+51=101，所以原式=50 （1+101）=5050
學生：將首末兩項配對，第二項與倒數第二項配對，以此類推，每一對的和都相等，并且都等于（a1+an）
學生：不一定，需要對n取值的奇偶進行討論。
當n為偶數時剛好配對成功。
通過對n取值的討論，得到了前n項和求和公式。但是對n討論麻煩了，能否有更好的方法求前n項和公式呢？
問題2：如何用倒置的思想求等差數列前n項和呢？
Sn=a1+a2+…+an-1+an
3.例題選講
例1：計算
（1）1+2+3+…+n （2）1+3+5+…+（2n-1）
（3）2+4+6+…+2n （4）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n
設計意圖：學生自己閱讀教材，體會教材的解法是如何運用求和公式的。
……
4.課堂總結
本環節由學生自主歸納、總結本節課所學習的主要內容，教師加以補充說明。
（1）回顧從特殊到一般，一般到特殊的研究方法。
（2）體會等差數列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及數形結合的數學思想。
（3）掌握等差數列的兩個求和公式及簡單應用。
5.課后作業
教材44頁：1、2、5、6
教師的問題一出，教室里馬上反應強烈.這樣的游戲，誰不玩，如果你加入我們的QQ群，你會發現，我們班里每個人都在玩.其實我早就以假的身份加入到了他們班級群中.提出這樣的問題，只是想引起學生的注意.
教師：既然每個人都在玩QQ農場，我李清是QQ農場的“新農民”，進入QQ農場首先應該了解游戲規則，請同學們給李清介紹QQ農場的游戲規則是什么？
學生七嘴八舌，我讓學生相互討論，并總結歸納回答：
1.鋤地+3；2.播種+2；3.澆水+2（幫別人+2，金幣+1）；
4.除草 +2（幫別人+2，金幣+1）；5.除蟲+2（幫別人+2，金幣+1）；6.購買裝飾獲得經驗： 購買裝飾時有說明，以頁面提示為準；7.每級升級所需經驗為：N*（200點）；8.種植作物獲得經驗：購買作物時有說明，以頁面提示為準.
上述討論的問題具有可操作性，學生有討論的基礎，學生的互動使學生的思維有一個充分預熱過程.
教師（問題）2：在李清玩QQ農場的游戲時，他發現有很多數列問題.你是否遇到一些數列的問題？請舉例與李清來共同探討！
學生1：種6塊地，一塊地得3分，3，3，3，3，3，3構成一個數列；
學生2：鋤地5塊，每次得3分，3，3，3，3，3構成一個等差數列；
學生3：那我收獲9塊地的番茄，可以獲得：18，18，18，18，18，18，18，18，18構成一個數列.
……
學生4：等級提升的經驗值：200，400，600，800，1000，1200，1400，1600，…構成一個等差數列.
學生5：當我經驗值提升到等級7級時，我就可以新開墾一塊土地；當我的經驗等級提升到等級9級時，我又可以開墾一塊土地…如此7級、9級、11級、…構成等差數列.
學生在玩種菜的游戲過程中，有許多這樣的數列碰到.在教師沒有提出這樣的問題時，可能不會想到數列問題.而教師的特殊引導，使學生在現有生活中感悟到數學文化無孔不入，無處不在.學生提出的數列大部分是常數列，學生4和5很為自己提出的數列感到自豪.
教師：非常好！李清是新入門的QQ農場用戶，他需要有多少經驗值分數，才能把他的經驗提升到等級3？
學生1：那還不簡單，600分.不過不可能，一天到不了！
學生2：不夠的.需要200+400+600=1200分，才能提升到經驗等級3.
因為這是一個人人在玩的游戲，游戲的主要目標是提升自己的經驗等級，所以學生有深刻的感受.此時，大部分同學贊同學生2的觀點.學生之間也有了相互的爭論與交流.通過生生的互動，學生得到規律，這是一個等差數列前幾項的求和問題.這為教師提出后續問題作了良好的鋪墊.
教師：那現有以下問題，請同學們快速幫李清解決（用數列來解析）：
①那種6塊地可以獲得多少經驗值？
②那鋤5塊地可以獲得多少經驗值？
③那經驗等級由0級提升到等級8需要獲得多少經驗值？
學生很快解決了第一和第二個問題，種6塊地可以獲得經驗值6×3=18分，鋤5塊地可以獲得經驗值5×3=15分.大部分學生在忙于第三個問題.
其實前兩個問題可以看成常數列的前n項和的問題.對于常數列（實際的問題）的求和，學生非常快，因為這是小學三年級的問題.而對于問題3，大部分學生是從200一直加到1600，雖然用的方法不是很難，但對于學生也夠麻煩了，200+400+…+1600=7200分.花了很長的時間.
教師：那我想經驗等級由0級提升到等級24（最高等級），需要獲得多少經驗值？
這時，大部分職高學生已經感到有難度了，所以很多同學都放棄了原來的想法，不再參與課堂的教學過程.有的學生說，我管他需要多少經驗值，反正我努力種地、收獲、澆水、除草就是了.
教師：即使是游戲，我也希望我們比別人玩得有頭腦，玩得溜.當我們碰到困難時，我們不應退，而應積極探究.剛才我們的計算辦法雖然有點煩，但總也可以解決問題.學習數學的宗旨就是化繁為簡.那么我們有沒有簡單的方法呢？現在我們隆重請出大數學家高斯.
投影高斯的畫像，并介紹高斯九歲時解決的問題：
1+2+3+4+5+…+100
=1+1002×100=5050.
學生1：這種方法我知道的，小學就做過.
學生1的回答引起了一些學生的共鳴，但不多.說明學生數學文化的局限性.教師就不失時機地請同學們來了解一下高斯.組織學生組間討論.接下來，請學生以組為代表發言.
結果學生根本不知道高斯的一點點生平事跡.教師用大屏幕投影“高斯是一對普通夫婦的兒子….”
學生對高斯的成就比較羨慕.但馬上就有這樣的聲音：“高斯太聰明了，我們是無法比較的.”
教師：對，我們無法和高斯相比，但不妨礙我們對高斯的了解，從而對高斯產生的仰慕！我們再看看高斯九歲時解決問題的方法，能不能幫助我們解決今天的問題？
學生：老師，那我能做了，200+48002×24=60000分.
教師：為什么？
學生：高斯是第一個數加最后一個數乘以100除以2 ，所以升到24等級：應是第一等級200分加上第24等級4800分乘以等級24除以2.
教師：如果用等差數列的“行話”來解析呢？
教師讓學生相互討論得到：首項加末項乘以項數除以2.
教師：那用公式呢？
學生：Sn=a1+an2×n.
教師：如果李清的經驗值分數是11000分，他可以從“新農民”提升到經驗等級幾？
學生唧唧喳喳，也沒個切入口.
教師：上述公式中 求和公式可以轉化為： Sn=na1+n（n-1）2d.
方案一，用實例引入，選了一個增長率問題，有某國企隨著體制改革和技術革新，給國家制造的利稅逐年增加，下面是近幾年的利稅值（萬元）
1000， 1100，1210，1331，……
如果按照這個規律發展下去，下一年應給國家制造多少利稅？
以處引出由1000，1100，1210，1331，……所確定的數列，研究這一數列的特點，給出等比數列的定義，這種以實例引入新課的方法自然突出了數學的應用性，同時還可以從中進行愛國主義教育。
方案二，以具體的等比數列引入，先給出四個數列： 1，2，4，8，16，……
1，-1，1，-1，1，……
-4，2，-1， ……
1，1，1，1，1，……
由同學們自己去研究這四個數列中。
每個數列相鄰兩項之間有什么關系？
這四個數列有什么共同點？
由此引導學生自己去觀察、研究，去歸納，從中發現規律，突出了以學生為主體的思想，訓練和培養了學生的歸納思維能力。
方案三，以等差數列引入，開門見山，明確地告訴學生，“今天我們這節課學習等比數列”，它與等差數列有密切的聯系，同學們完全可以據已學過的等差數列來研究等比數列。
什么樣的數列叫等差數列？
你能類比猜想什么是等比數列？試舉出一兩個例子，試說出它的定義。
方案三比二“更帶有激發性，學生參與的程度更強，在幾乎沒有任何提示的情況下，讓學生自己動腦動手去研究，從思維類型來看，這種方法重要是訓練和培養學生的類比思維，可以進一步培養學生分析問題和解決問題的能力。
由此引發的思考。
如何通過對教材內容的學習，以實現培養能力和提高素質的目的。
從目前高考改革的方向來看，逐步加強對能力的考查，因此，課堂教學的改革也應該以培養能力和提高素質為主線，使“素質教育”和“應試教育”有機的結合起來。可我們在平時的教學中比較重視解題教學，對新課的引入過程，對新知識的形成過程重視不夠，將好多可以進行能力培養和訓練的機會放過了，認為課堂教學時間緊，能力培養見效慢，不如“精講多練”實惠，對如何使用課本進行能力培養的問題，也有模糊認識，認為課本怎么寫我就怎么講，既省時又省事，更省力，這些想法帶有一定的普遍性。
課堂教學設計的出發點是什么？
由于同一個內容可以產生不同的教學設計，說明不同的教學設計一定有不同的考慮，會實現不同的目的。
教師在備課時，一般容易單純從教學內容出發，考慮如何掌握所教教學內容為主，對深層次的教學目的考慮不周或不去考慮，這確實是值得我們深思的問題，在這種思想指導下的教學設計經驗只停留在知識內容或方法上，而忽視能力和素質要求，缺乏深層次的思考，淡化了過程。 怎樣科學、合理地進行教學設計
我們知道，教學質量的關鍵在于課堂教學，而課堂教學的好壞，關鍵在于備課，可以說教學的過程是從備課開始的，因此抓好備課這個起始環節是至關重要的。這樣擺在我們面前的問題就是如何科學地、合理地進行教學設計，真正把好備課關。
當前的問題是有些老師對備課還重視不夠，個別老師的教案是使用多年不變，有的老師只備例題和習題，沒有能力培養的意識，也有的老師將能力訓練和素質培養納入教學軌道，但經驗不足，訓練不知如何下手。因此，我們覺得有必要對如何進行教學設計開展研究和討論。
課堂教學過程設計要素
在課堂教學設計過程中，既要注重知識、方法和能力的關系，又要突出能力的地位和作用。為此，我們認為教學過程設計的主導思想是有利于學生能力的形成和素質的提高，這是教學改革的方向。
要分析班級的整體狀況。
不同的學校，不同的班級的學生的知識基礎、能力水平、學習習慣、學習速度、課堂
氣氛,……，都有差異，因此在進行課堂教學設計考慮能力要求時，應隨學生的思維水平有所區別。在進行具體的教學過程設計時所設問題的大小、難易程度也要因學生而異。 如果一個班級基礎很差，就很難在教學過程中設計一個由學生討論、發現、論證的完整的教學環節。相反，若一個班級的學生的學習興趣濃厚，有良好的發言習慣，又有一批較好掌握論證技巧的學生，最有可能安排設計討論的環節，引導學生自已歸納推導出某些數學命題，充分發揮學生的創造性。總之，教學過程的設計要符合學生的實際，要有利于提高他們的思維水平。
要研究課題特點。
一、對情景教學的理解
數學的情景教學可以這樣來理解：在教學環境的制約下，以模仿數學家思維活動過程，挖掘數學認識動機、內在聯系以及知識的產生和發展的情節為主體的教學手段。在運用這種教學方法的過程中，必須注意以下幾點：第一，構造思維活動的情節時，以探索啟發為主不一定是遵守形式邏輯規則的嚴格思維，而是運用合理的推理和擬真推理進行教學；第二，設計教學活動過程必須聯系學生的情感、意志、水平，使學生在興奮狀態下經歷“潛伏―存疑―豁然開朗”的過程，也就是“提出問題―試一試―不斷償試中增強信心―下決心證明―得到正確結果”的過程；第三，構成活動情節的類型有概念的形成過程、方法的思考過程、結果的探究過程。教學上應按這樣的過程去設計教案，才能達到數學情景教學的目的。
二、實施情景教學的具體做法
數學情景教學的實施大致可以用如下框圖進行：
下面就以等差數列求和公式一課為例加以說明。
1、創設問題情景
這是指提出能激發學生學習興趣和求知欲、學生自己能夠理解和解決的問題，其中包括日常生活的實際問題、數學趣味問題或已學過的舊知識等。這符合“學習始于問題”這一正確的看法。如：在講授等差數列的求和公式時，我在黑板上寫下“1＋2＋3…＋100＝？”，并向學生講述這是大數學家高斯小時候解決的問題，將此故事簡單地敘述一遍，然后請同學們也來試一試。此時學生情緒高漲，很快就進入角色，并把結果5050計算出來。
2、嘗試學習
這是指在教師的指導下，通過自己的嘗試，探究問題的解決。嘗試的目的是讓學生自己動手動腦，以主動的恣態參與學習知識的全過程，接著提出這樣的問題：若（An）為等差數列，求“A1＋A2＋A3＋…＋An＝？”你們會做嗎？學生齊答：“不會。”教師指出“這個回答不全面”（此時學生很驚呀，半信半疑，處于求知狀態），并反問學生：“‘1＋2＋3…＋100＝？’你們不是會做嗎？”學生恍然大悟，并開紿積極思考這個問題。
3、鋪墊探究
這是指學生處于嘗試學習的時候，可能會遇到一些疑點和難點。為了幫助學生克服這些難點，教師給出的一些鋪墊，主要是幫助學生在新舊知識結構之間搭橋鋪路、掃除障礙、彌補缺漏，自然而然地過渡到學習新知識的情景之中。如：在學生思考Sn的求法時，教師演示幻燈：
①你們是如何求?＋2＋3…＋100＝？模?②等差數列有何特征？
這樣Sn就呼之欲出，很快就自己得出等差數列的求和公式：Sn＝。
進一步鋪墊，可使教學活動情節表現得更加生支有效。教師可以繼續提問：你們還能得出Sn的其他公式嗎？這時學生的思維又一次被調動起來，頭腦處于興奮狀態，進入解決問題的。
4、解決問題
這是情景教學的最后階段，是整節課的高峰期。處于興奮狀態的學生自己動腦、動手去解決他們想解決而未解決的問題，因而思維特別活躍，對問題急于弄個水落石出。因而，教師此時應用鼓勵的目光和語言去幫助學生，使他們順利解決問題。在等差數列的求和教學中，除了發現學生推出了課本上已有的公式Sn＝na1＋d以外，還發現部分學生推出了課本上沒有的公式Sn＝（p＜n，p∈n）。
三、情景教學在數學教學中的意義
根據多年的教學法情況看，使用情景教學法至少有如下好處：
1、數學情景教學一開始就提出了對全堂課起關鍵作用的、學生自己能夠解決的、富有挑戰性的問題，激發了學生的濃厚興趣，并使他們以積極的態度去解決所提出的問題。這就形成了迫切要求學習的情景，為后面課的展開奠定了良好的基礎。
2、創設了問題情景：問題是思維的出發點，有了問題，學生才會去思考。對學生來說，提出一些他們想解決而未解決的富有挑戰性、趣味性的問題，更能激發他們的向心力，促使他們積極思考。
3、從實施過程來看，全體學生真正做到了動手、動腦、動口，積極參與教學的全過程，從不自覺到自覺地發揮了他們的思維能力和創造能力。
4、在教學中使“以學生為主體，教師為主導”的教學原則得到了很好的貫徹。學生的學習是主動的學習，始終貫穿著學生的自主活動，充分發揮了學生在學習過程中的主體作用。讓學生真正成為學習的主人，使他們去探索、去發現、去獲取，其結果是使教學系統中的教與學控制在最佳狀態――后進生在練習中及時得到幫助，中等以上的學生也有進一步發揮的機會，教師更能從中了解學生的實際情況并及時調整教學環節。
對情景教學的理解
數學的情景教學可以這樣來理解：在教學環境的制約下，以模仿數學家思維活動過程，挖掘數學認識動機、內在聯系以及知識的產生和發展的情節為主體的教學手段。在運用這種教學方法的過程中必須注意以下幾點：第一，構造思維活動的情節時，以探索啟發為主不一定是遵守形式邏輯規則的嚴格思維，而是運用合理的推理和擬真推理進行教學；第二，設計教學活動過程必須聯系學生的情感、意志、水平，使學生在興奮狀態下經歷潛伏――存疑――豁然開朗的過程，也就是提出問題――試一試――不斷償試中增強信心）――下決心證明――得到正確結果的過程；第三，構成活動情節的類型有：（1）概念的形成過程；（2）方法的思考過程；（3）結果的探究過程。教學上應按這樣的過程去設計教案，才能達到數學情景教學的目的。
實施情景教學的具體做法
數學情景教學的實施大致可以用如下框圖進行：
下面就以等差數列求和公式一課為例加以說明。
創設問題情景。是指提出能激發學生學習興趣和求知欲，學生自己能夠理解和解決的問題，其中包括日常生活的實際問題、數學趣味問題或已學過的舊知識等。這符合“學習始于問題”這一正確的看法。如在講授等差數列的求和公式時，我在黑板上寫下：1+2+3+ 100=？并向學生講述這是大數學家高斯小時候解決的問題，將此故事簡單的敘述一遍，然后請同學們也來試一試，此時學生情緒高漲，很快進入角色并把結果5050計算出來。
嘗試學習。是指在教師的指導下，通過自己的嘗試，探究問題的解決。嘗試的目的是讓學生自己動手動腦，以主動的恣態參與學習知識的全過程，接著提出這樣的問題：若 為等差數列，求 你們會做嗎？學生齊答：“不會”。教師指出：這個回答不全面（此時學生很驚呀，半信半疑，處于求知狀態），并反問學生： 你們不是會做嗎？學生恍然大悟，并開紿積極思考這個問題。
3、鋪墊探究。是指學生處于嘗試學習的時候，可能會遇到一些疑點和難點，為了幫助學生克服這些難點，教師給出的一些鋪墊，主要是幫助學生在新舊知識結構之間搭橋鋪路、掃出障礙、彌補缺漏，自然而然地過渡到學習新知識的情景之中。在學生思考 的求法時教師演示幻燈：
你們是如何求 的？
等差數列有何特征？
這樣 就呼之欲出，很快就自己得出等差數列的求和公式：
進一步鋪墊，可使教學活動情節表現得更加生支有效。繼續提問：你們還能得出 的其他公式嗎？這時學生的思維又一次被調動起來，頭腦處于興奮狀態，進入解決問題的。
4、解決問題。這是情景教學的最后階段，是整節課的高峰期。處于興奮狀態的學生自己動腦、動手去解決他們想解決而未解決的問題，因而思維特別活躍，對問題急于弄個水落石出。因而教師此時應用鼓勵的目光和語言去幫助學生，使他們順利解決問題，在等差數列的求和教學中除了發現學生推出了課本上已有的公式 以外，還發現部分學生推出了課本上沒有的公式： 。
情景教學在數學教學中的意義
根據多年的教學法情況看，使用情景教學法至少有如下好處：
1、數學情景教學一開始就提出了對全堂課起關鍵作用的、學生自己能夠解決的、富有挑戰性的問題，激發學生的濃厚興趣并以積極的態度去解決所提出的問題，這就形成了在迫切要求學習的情景，為后面課的展開奠定了良好的基礎。
2、創設了問題情景。問題是思維的出發點，有了問題才會去思考，對學生來說提出一些他們想解決而未解決的、富有挑戰性、趣味性的問題更能激發學生的向心力，促使他們積極思考。
3、從實施過程來看，全體學生真正做到了動手、動腦、動口，積極參與教學的全過程，從不自覺到自覺地發揮了他們的思維能力和創造能力。
4、在教學中使以學生為主體，教師為主導的教學原則得到了很好的貫徹。學生的學習是主動的學習，始終貫穿著學生的自主活動，充分發揮了學生在學習班過程中的主體作用。讓學生真正成為學習的主人，使他們去探索、去發現、去獲取，其結果使教學系統中的教與學控制在最佳狀態――差生在練習中及時得到幫助，中等以上的學生也有進一步發揮的機會，從而教師更能從中了解學生的實際情況并及時調節教學環節。
作為一名數學教師那么怎樣才能在數學教育教學中更好的滲透德育教育呢？下面我就把我在數學教育中如何進行德育滲透的做法和大家進行交流：
一、愛國主義教育
高中數學教材中，有豐富的愛國主義教育素材，在教學中適時地、自然地利用它們對學生進行思想教育，會達到事半功倍的效果。
1.利用數學中的應用題和一些數學模型，通過一些具體的數據計算，讓學生了解為什么要控制人口，實行計劃生育，保護環境和生態平衡的重要性及迫切性。
2.利用數學課外活動，組織學生到農村進行實地調查，了解分析農村情況，用自己掌握的材料寫一些小論文。使學生認識到國家“三農”政策的英明。
3.適時的介紹我國的數學發展史。介紹我國在數學方面取得的成績和杰出的數學人才及他們取得的數學成果（如楊輝、祖沖之、祖恒、秦韶九、華羅庚、陳景潤等的成就和事績）。數學發展史蘊藏著寶貴的精神財富，能夠激發學生的愛國熱情，增強民族自豪感和責任感，從而培養學生學習興趣。
二、辯證唯物主義思想
數學學科蘊含著極其豐富的辯證思想，它較其它學科更為具體和廣泛，這是數學學科的一大特點，結合教學實際可以對學生進行辯證唯物主義教育。如函數的定義、軌跡的概念等都是運動和變化的思想在數學中的具體體現；數的對立統一（實數與虛數），量變到質變（圓錐曲線離心率e的變化得出不同的圓錐曲線）、運算法則的互逆關系（指數運算與對數運算）都是對立統一規律的具體反映；一些定理、定義、公式、法則之間相互制約、相互聯系、相互依賴，都反映了普遍聯系的規律；還有反證法的思想，實際上是矛盾中否定之否定規律的體現。
高中生正處于世界觀逐漸形成的階段，為了讓學生有一個正確的世界觀，用辯證唯物主義思想去認識世界，教師在講授相應新課的同時，適時地、恰當地滲透些辯證唯物主義思想教育，不僅有利于學生對數學知識的深刻理解和對數學方法的熟練掌握，更重要的是有助于學生形成良好的思維品質和科學的世界觀。可以從以下幾方面進行：
1.掌握學情，精心設計教案，特別是新授課中要注意加強學生知識形成過程的教學，強調邏輯推理能力的同時，注重實驗和直觀增強感性認識，循序漸進，以適應學生的認知規律。如在概率教學時由大量實驗培養學生的認識概率，概率可以幫助人們更客觀地認識世界（如破除迷信、揭示謊言等）。
2.數學中應多“授之以漁”，重視思維方法的教學，特別是強化未知向已知轉化的內在聯系，培養觀察能力和猜想能力，教會學生動手和動腦的能力。如在等差等比數列的教學時特別是求和求通項，如、已知在中求。
解：由已知
可形為
以上各式累加得：當n2時：
=
=
當n=1時21-1=1也適合所以
在此題的教學過成中可以由等差數列的定義出發，發現其中的差異以及推導等差數列通項公式的逐差累加法。再結合數求和，即能解決。
3.教學中充分借助“動”和“靜”的相對性分析問題，比如“移動中看空間圖形”。參變量的選取大都是根據運動的需要設置的，這些體現動與靜的統一的思想在函數、三角、復數、數列、解析幾何等數學的各個分支上舉不勝舉。老師應注意讓學生應用。
4.提倡一題多解，一題多變，作好解題后的總結和思考。
如在講解習題：已知數列是一個等差數列，且
（1）求的通項公式an；（2）求前n項和的最大值。
在求解的二問的時候，我們可利用第一問的結果判斷正負項，在求解，也可以求出前n項和公式利用函數性質進行求解。解題后應對兩組公式的作用有深刻認識。同時我們將已知條件該變，再去求前n項和的最值問題，就應該有一定的方向性，我們要求出通項公式，或前n項和公式。
三、意志品質、道德品質、價值取向
高中階段是學生道德觀、價值觀形成的關鍵時期，僅靠政治課、班團活動和班主任工作使學生形成正確的道德觀、價值觀是不夠的，在數學學科教學中把握時機，有目的、有意識地培養學生的道德觀、價值觀可以從下幾個方面進行。
1.意志品質的培養。通過數學概念的形成，結論的推證，問題的求解，引導學生經歷困難、挫折，培養學生學習上不怕吃苦，勇于面對挑戰，不畏困難，百折不撓的頑強的意志品質。
2.道德情操的培養。利用數學應用題，如市場經濟情況，稅收問題，時政應用題，滲透生活、生產常識、金融投資常識、市場競爭常識等，通過應用題的背景及計算的數據，使學生明確應該具有良好的道德品質。
關鍵詞：以學生的學為本；數學素養；探究；變式
新課程理念倡導的數學課堂教學必須“以學生的學為本”“以學生的發展為本”，即數學課堂教學應當是人的發展的“學程”教學，而不是單純以學科為中心的“教程”的教學。故教師在把握數學課堂教學的科學性的同時，必須講究教學的藝術性。課堂上，教師在以學生為本的基礎上施以巧妙的教學方法、教學技巧，將起到事半功倍的效果。所以面對同樣的教材內容，我們要從學生的認知角度培養學生的數學素養出發，適當加工，從特殊到一般，從具體到抽象，逐步深入，揭示知識本質。那如何實行有效的課堂教學呢？筆者有以下幾個建議，僅供參考。
一、以問題為中心，建構有效教學的課堂
1.創設有效問題情境
有效的教學應該把學生置于一種完整或逼真的問題情境中，使他們產生學習的需要，并通過師生有效互動，促使他們主動學習、生成性地學習，最終獲得問題解決的技能。以問題為中心的學習要避免“開放過度”的問題情境，要避免“探究無力”和“探究無味”的問題情境，因此它必須具有如下特征：（1）問題的“研究性”能否引起更多學生的興趣，引起更多學生的深入思考，從而有效培養學生發現問題、研究問題的科學素養。（2）問題的“障礙性”與學生的認知水平是否辯證統一，會不會嚴重阻礙學生的接受和興趣，影響研究質量和效率。
例如，在雙曲線應用教學中，設計如下問題情境：一次，在海岸A、B兩個觀察所，收到大海中一所油輪出事的求救信號，而且在觀察所A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s。那么，爆炸點應在什么樣的曲線上，曲線方程是什么？
這是一個基于真實情景設計的問題，解決問題的全部信息已經呈現出來。首先，學生必須把握情境中包含的有用信息，如聲音在空氣中傳播的速度，A、B兩個觀察所之間的距離等。其次，學生抽象出問題的實質，并獨立地運用所學知識找到解決問題的辦法，如果學生不能獨立解決，則引導他們進行討論。
課堂上學生所面對的問題應該是“跳一跳”能“夠得著”的才有意義，才能激起學生的學習興趣。以此為切入點，在課堂教學中教師必須要有問題意識，盡可能地以學生自主發現問題、主動探究解決問題為課堂的開始與歸屬。
2.創設有效問題串
問題串的有效性應具備以下幾個特征：（1）問題的設計要符合學生一般認知規律，身心發展規律等；（2）開發性：問題富有層次感，入手較易，開發性強，解決方案多，學生思維與創造的空間較大；（3）挑戰性：能引起學生的認知沖突和學習心向，能激發興趣，促進學生能夠積極參與，接受問題的挑戰；（4）體驗性：能給學生提供深刻體驗，人人有所得，包括操作、探究的機會或替代性經驗，學生能夠感受、體驗數學。
課堂上教師提出的每一個問題都好比羅盤和路標，直接引導學生的思維和方向。教師設計時就要明確提問的目的：為引入新課？為解決難點？為引起學生的興趣和注意？為促使學生思考？為總結歸納？等等。教師課堂提問一定要注意引發思考，恰到好處地掌握提問的頻率，不能只求形式的熱鬧，創設的提問要給學生造成心理的懸念，引起學生的好奇與認知上的沖突，讓學生有好奇而到達求知的目的，達到“一石激起千層浪”的效果。例如，在《直線與圓錐曲線的位置關系》的復習課中，設計這樣一個問題：“已知a+b=1，直線l∶y=ax+b和橢圓兩點， （請你添加條件），求直線l的方程”。這一開放題有較大的思維空間，不同層次的學生都能在這個問題上有不同層次的施展，通過這個問題多種方案的解決，一方面可以復習相關知識，另一方面可以培養學生提出問題、發現問題的能力。
設計符合學情的“問題串”至關重要，只有這樣，才能使問題串搭建起“適切”的“腳手架”，從而突破核心思想教學的難點，引導學生自主探究，并在過程中形成思想，讓教學做到真正有效，適度開放。例如，高中數學必修五第三章“二元一次不等式（組）與平面區域”以問題串的形式探究二元一次不等式表示的平面區域。我們先從二元一次不等式x-y
問題①：二元一次不等式x-y=6的解集是什么圖形？
問題②：在平面直角坐標系中，所有的點被直線x-y=6分成幾類？
問題③：如何判斷點在直線上？
問題④：以不等式x-y
問題⑤：如果（x，y1）是直線x-y=6上的點，則x-y1=6。當y1>y時，點（x，y）是否滿足x-y>6？
結論：一般地，平面直角坐標系中，在直線Ax+By+C=0的一側Ax+By+C>0，另一側Ax+By+C
問題⑥：怎樣判斷二元一次不等式Ax+By+C>0表示的平面區域在直線Ax+By+C=0的哪一側呢？
問題①到問題④設計于學生的現有發展區，問題⑤教師借助多媒體演示整個內容，再提出問題⑥。課堂上，教師緊緊地牽引著學生的思維，進行針對性的指導和引領，使學生的新舊知識順利過渡，更易理解和掌握。當然，教育現實中，任何設計都不可能同時適合幾十位學生，但我們要追求的是――讓我們的問題串盡量去滿足盡可能多的學生，讓我們一起努力吧！
二、以探究性教學為中心，建構有效教學的課堂
新一輪數學課程改革強調數學學習活動中自主探究、動手實踐、合作交流等學習方式。探究性教學是指在教師的幫助和支持下，學生圍繞一定的問題、文本或材料，自主尋求或自主建構答案、意義、理解或信息的活動或過程。探究性教學應該是全部數學教學模式的重要組成部分，但僅僅是一部分。筆者認為高中數學探究性教學在傳授學生知識的同時更重要的目標是：讓學生在經歷探究的過程中，培養好奇心與求知欲；培養科學的推理能力；發展決策能力；培養抗挫力和克服困難的毅力以及形成實事求是的科學態度避免想當然的思維方式才是探究性教學的真正目標。
例如，在拋物線教學的習題中有這樣一道題。過拋物線y2=2x的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2，求證：y1y2=-1。
經過探究，學生可以反思，教師也可以設置如下問題，繼續探究。
反思①：過x軸上的任一點（a，0）的直線與拋物線y2=2px交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都為常數呢？
反思②：過y軸上的任一點（0，b）（b≠0）的直線與拋物線y2=2px交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都為常數呢？
反思③：過平面上的任一點（a，b）的直線與拋物線y2=2px交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都為常數呢？
這樣可以使學生真正理解并掌握這塊知識并能正確運用。通過探究可以培養學生不斷探究，不斷反思的良好習慣，培養學生的抗挫力并鍛煉學生克服困難的毅力，以此來培養學生科學合理的推理能力并發展學生的決策能力。
三、以變式教學為中心，建構有效教學的課堂
變式教學是在教學中用不同形式的直觀材料或事物說明事物的本質屬性，或變換同類事物的非本質特征以突出事物的本質特征。通過變式教學能讓學生對概念、定理、公式有多角度的理解；同時通過對問題的多層次的變式構造，可以使學生對問題解決過程及問題本身的結構有一個清晰的認識，也能有效地幫助學生積累問題解決的經驗和提高解決其他問題的能力。因此變式教學是提高課堂效率的有效途徑，是一種行之有效的教學方式。
變式時，適時改變問題情境，引導學生考察新情景中的結論、求解思路，有益于學生掌握類比遷移的技能，提高觸類旁通的解題能力。變式教學可以避免枯燥的重復演練，“重復經過變式而得到發展”。例如，在高中教學必修5第三章“數列”有這樣一道習題：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數列，求證：a2，a8，a5成等差數列。在求證過程中我們容易知道1+q3=2q6是一個關鍵的式子，有了此式，我們很容易得到大量的新的“結果”。
變式①：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，Sn，Sn+6，Sn+3成等差數列，求證：an，an+6，an+3成等差數列。
變式②：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，Sk，Sk+m，Sk+n（k，m，n∈N+）成等差數列，求證：ap，ap+m，ap+n（p∈N+））成等差數列。
變式是教學的一種手段，我們在教學中要重視引導學生在變中悟，在變中練，有利于開拓思維，有效提高學生的學習能力，使教學收到事半功倍的效果。
四、以特殊化教學為中心，建構有效教學的課堂
特殊化思想是中學數學中應用最為廣泛的數學思想之一，可以起到形成良好的思維品質，培養和發展思維能力的作用。在教學中應有意識應用這個載體，加強對學生數學思維的鍛煉的能力的培養。特殊化思想作為解題技巧，它沒有既定的模式，需要解題者從不同的角度和層面去探求特殊值，特殊化狀態，特殊位置等來得到問題的特殊情況。
特殊化思想作為一種技巧，關鍵在于選取“一針見血”的特例，但特例并非一貫的偶得，而是解題者的“數感”，是建立在合理的數學知識結構，清晰的概念理解，廣泛而大膽的聯想與猜想之上的，是一種直接的領悟性的思維活動。在邏輯推理上，由反例來否定命題，還可以運用特例，得到問題的必要條件，然后再通過檢驗、證明，形成問題的充要條件。教師應在教學中鼓勵學生大膽地聯想和猜想，然后通過比較和反思，去得到最優的特例，并反思特例與問題本質之間的聯系，從而提高學生的思維的靈活性和敏捷度，培養學生的直覺思維。英國心理學家瓦拉斯提出創造性思維的“準備―醞釀―豁朗―驗證”四個階段，在教學中以學習特殊化解題策略為載體，遵循這四個階段來培養創新思維，能夠達到很好的效果。
五、以信息技術教學為中心，建構有效教學的課堂
當今教育的側重點必須隨著計算機在數學中的應用而有所改變，特別是幾何畫板的運用，使數學學習更直觀化。教師可以讓學生通過自己動手操作，進行探究、發現、思考、分析、歸納等思維活動，最后獲得概念、理解或解決問題。教師應鼓勵學生去探索數學問題以及用數學去解決問題，不僅要培養學生的邏輯能力，空間想象能力和運算能力，還要培養數學建模能力、數據處理能力和探究學習能力，加強在“用數學”方面的教育，使得學生明白數學是多么基礎又重要的學科。
六、以精講精練的教學為中心，建構有效教學的課堂
由于高中新課程教材內容的豐富性與教學時間的有限性之間的矛盾，教師只能通過提高教學效益來改變現狀。我覺得，在吃透課標的同時要做到精益求精備課，在此基礎上進一步優化教學預案。這就有“洗課”一說，就是對教案進行再思考，就是把課后進行的反思提前到上課之先。數學課的“洗課”主要是“洗題”，這是因為對數學教學而言，題目的選擇與配設更為關鍵。“洗題”應有明確的價值取向，可以從以下幾個維度思考：（1）目標指向的明晰性；（2）題目配設的典型性；（3）思維培養的有效性。
例如，高二“有限制條件的排列問題”的數學內容，課本中有這樣一道例題：用0到9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？易見，課本中安排這道例題，旨在讓學生“提煉”解決有限制條件的排列問題的三種最基本最常用的方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、間接法。細細“揣摩”教材的用意以后，在設計本例時，給出以下兩個小問題：
①從這10個數字中選出不重復的3個數字作為函數y=ax2+bx+c中a，b，c的值，問可以組成多少個不同的二次函數？
②從這10個數字中選出不重復的3個數字作為圓的方程（x-a）2+（y-b）2=r2中a，b，r的值，問可以組成多少個不同的圓的方程？
第①小題后接著問：可以組成多少個關于y軸對稱的二次函數？可以組成多少個不同的二次函數（把“二次函數”拓展為“函數”）？
第②小題后接著問：可以組成多少個圓心在x軸上的圓方程？
練習是數學教學的一個重要組成部分，學生通過訓練，鞏固概念，體會數學思想，掌握數學方法。訓練內容針對性和目的性要強，學習訓練的設計要有層次，根據學生的數學學習水平提出不同的訓練要求，重視學習訓練的質量和效益。注重引導學生積極參與，讓學生體驗發現和解決數學問題的探究和學習過程，不斷地反思、歸納、優化解決問題的策略，進而全面提高學生的數學素養。
七、以設置懸念的教學為結尾，建構有效教學的課堂
在中學數學課堂教學的過程中課堂小結幾乎是少不了的，但教師在作課堂小結的時候，學生往往在做下課的準備，至多記下小結的內容和作業，很少再積極主動深入地思考。因此，課堂小結成了課堂結束的序曲。教師應在課堂結束時，提出一些富有啟發性的問題，不作解答，以造成懸念，預示新課，從而激發學生的求知欲，使他們渴盼“且聽下回分解”，這樣，此課的“尾”就成了彼課的“頭”，使新舊課之間有了銜接，把一次次的課堂教學連貫起來。