公交車民意線路設(shè)計的研究案例

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１研究背景

九江當(dāng)前公交車線路對應(yīng)的是過去的九江經(jīng)濟發(fā)展模式．但在新的時代背景下九江突破了往日的限制,一批又一批的地方如八里湖等地經(jīng)濟迅速發(fā)展,這也使往日的公交車線路不再適應(yīng)當(dāng)前的九江經(jīng)濟發(fā)達區(qū)發(fā)展的需要．從人口布局變化角度:城市的發(fā)展日新月異,人口的布局也在不斷變化,過去集中在潯陽區(qū)的人口慢慢地已經(jīng)分化至濂溪區(qū)、開發(fā)區(qū)、八里湖新區(qū),但九江公交的線路規(guī)劃卻沒有及時跟上人口布局的變化,如從火車站到開發(fā)區(qū)長江大道(含柴桑美食街、聯(lián)盛快樂城等商圈)目前無線路規(guī)劃,濂溪區(qū)與開發(fā)區(qū)之間線路過少等．因此,對于九江市公交車線路規(guī)劃的改進就顯得尤為重要與迫切．

２研究問題

此次研究目的在于設(shè)計出最合理的、最有利于經(jīng)濟發(fā)展的、市民滿意的線路,改進九江市公交車線路規(guī)劃．

３建立數(shù)學(xué)模型

簡單的思路為:在獲得市民普遍反映的、需要增添線路的站點的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)之上,將各個站點通過數(shù)學(xué)模型求解出連接順序,即可獲得民意線路．可以參考旅行商問題:一名推銷員準備前往若干城市,從城市V１出發(fā),要遍訪城市V２,V３,V４,…,Vn各一次,最后返回V１．已知從Vi到Vj的距離為Wij,問他應(yīng)按怎樣的次序訪遍這些城市,使總距離最少?用圖論的術(shù)語說,就是在一個賦權(quán)完全圖中,找出一個有最小權(quán)的Hamilton圈,也稱這種圈為最優(yōu)圈(其中邊表示兩個點之間的連線,權(quán)即為每個邊的賦值大小)．其解決的思路為將各邊的權(quán)加起來,尋找出求解最小權(quán)的圈的方法．此問題的權(quán)取決于各邊的距離長短,距離長,權(quán)大;相應(yīng)的,距離短,權(quán)小．因此,圈權(quán)和越小,總距離越小．綜合分析后,只需將上述問題的影響權(quán)的參數(shù)擴展范圍,使權(quán)越小,對應(yīng)現(xiàn)實中價值越高．這樣在我們找到了一些站點后,在完全賦權(quán)圖上找出最小權(quán)圈,這就是我們要的民意線路．連出對應(yīng)求最小權(quán)圈的解決思路也與上述問題一致．下面開始正式建模:

(１)問題分析

首先,每個站點都要連接,且只能連接一次,不能重復(fù)．其次每連接一個站點,則這個站點既使一條邊的起點,也是下一條邊的終點．連接完所有站點后,應(yīng)回到起始點．我們這里的數(shù)學(xué)模型可以用純粹的０－１整數(shù)規(guī)劃來構(gòu)建．

(２)約定符號

f(x)表示目標函數(shù);Vn表示標號為n的地點;Wij同表示從i到j(luò)地間對應(yīng)的權(quán)．其中i,j＝１,２,３,…,n．

(３)決策變量

變量Xij表示是否要從Vi出發(fā)到Vj,且令.

(４)目標函數(shù)

若決定將從Vi與Vj連接,則其權(quán)表達為Xij*Wij,于是目標函數(shù)表達為minf(x)＝∑ni＝１∑nj＝１Wij*Xij．此時目標函數(shù)的解也就對應(yīng)了現(xiàn)實中滿意度最高的,價值最高的民意線路連線順序．

(５)約束條件

約束條件１由于每個地方只可以進入一次,則有∑nj＝１Xij＝１．約束條件２同理,由于每個地方只可以出發(fā)一次,則有∑ni＝１Xij＝１．約束條件３由于上述兩個條件無法限制賦權(quán)圖中有兩個及兩個以上圈情況的產(chǎn)生,如四個點連成一個小圈:v４→v５→v６→v７,其余點連成另一個大圈,這樣就有兩個圈．但仍然符合上述條件．因此需要附加條件使這種情況無法產(chǎn)生．條件如下:ui－uj＋nXij≤n－１．此式中:u１＝０,１≤ui≤n－１,ui為一個連續(xù)變量,僅用于約束條件３．ui可自行取值,如令ui＝i－１．類似于方程中的參數(shù),僅影響Xij的取值,且ui無實際意義．(想一想,只要找到一組ui滿足上述不等式就可以了嗎?———編者注)下面開始證明該條件可以使形成賦權(quán)圖中只含一個圈:任何含兩個及以上圈的賦權(quán)圖必然不滿足于約束條件３用反證法進行證明:假設(shè)賦權(quán)圖不止一個圈,則至少存在兩個圈,那么至少有一個圈不含起點V１,如圈V４→V５→V６→V７,使用條件三,則必有:u４－u５＋n≤n－１,u５－u６＋n≤n－１,u６－u７＋n≤n－１．上述三式相加得０≤－３,不成立．因此假設(shè)不成立．所以任何含兩個及以上圈的賦權(quán)圖必然不滿足于約束條件３．全部僅含一個圈的整體巡回路線都可以滿足約束條件３(ui取適當(dāng)值)以一特殊取值為例:ui取整數(shù),起點編號u１＝０,第一個到達頂點的編號u２＝１,每到達一個頂點編號加一:對于總?cè)ι系倪?則必有ui－uj＝－１,約束條件變?yōu)椋保玭≤n－１,必然成立;對于非總?cè)ι系倪?因為xij＝０,則約束條件變?yōu)閡i－uj≤n－１,由于左邊最大值為n－１,故恒成立．[１]綜上所述,約束條件３可以使形成賦權(quán)圖中只含一個圈．至此,模型建立完成:minf(x)＝∑ni＝１∑nj＝１Wij*Xij,滿足條件∑nj＝１Xij＝１,∑ni＝１Xij＝１,ui－uj＋nXij≤n－１,u１＝０(１≤ui≤n－１),Xij＝０或１．(i,j＝１,２,３,…n)求解可采用MATLAB搭配求解模型．

４初次實踐

在模型建立完之后,進行初次實踐應(yīng)用．

(１)問卷調(diào)查

在不同地方進行投放問卷,采用實體問卷調(diào)查和網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查結(jié)合的形式．實體問卷發(fā)放１７０份,回收１５３份．網(wǎng)絡(luò)問卷收回１５７份．共計３１０份．整理出有效問卷為２５４份．且大多數(shù)為學(xué)生回答．經(jīng)過統(tǒng)計,得出了反饋數(shù)最多的的１５個民意站點(即人們認為坐公交車不方便的地方,需要增加線路)分別為:三中鶴問湖校區(qū),向陽閘,二中,快樂城,財校,一中,冷凍廠,德化路,汽車總站,荷花垅,中茂鉑宮,長虹小區(qū),萬達廣場,聯(lián)泰,國棉三廠．在自主繪制的九江市公交線路圖上,將通過對問卷數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到的十五個點所在位置進行標注,并按照從左往右的順序依次記作V１,V２,…,V１５．(此次問卷調(diào)查僅獲得各個站點信息,即模型中Vi的具體位置,無其他信息)

(２)賦權(quán)

邊權(quán)影響因素包括:１．各邊之間的距離．２．各邊的經(jīng)濟價值．３．各邊附近的公交線路．(即若一個邊附近線路多,相應(yīng)權(quán)也大)．考慮到各因素權(quán)重不同,對應(yīng)賦權(quán)區(qū)間也不同.．對影響因素１,權(quán)即為兩點之間圖上距離(以cm為單位長度)．對影響因素２,權(quán)區(qū)間為[４.５,１２]．對影響因素３,權(quán)區(qū)間為[３,８]．最后求各因素權(quán)和即為各邊的實際權(quán)大小.各邊權(quán)情況如圖１,圖中數(shù)據(jù)已求和．其中,以第七行第八列的４３.５為例,表示７地與８地之間的權(quán)為２６.５＋１１＋６＝４３.５．以此類推．

(３)代入求解

變量Xij類似于方程組的解,將程序輸入計算機后,可自動求出相應(yīng)解集,無需我們?nèi)ヒ灰粐L試．解出該問題的解集(取值為１的變量):{X１,４,X４,７,X７,２,X２,５,X５,６,X６,３,X３,１５,X１５,１０,X１０,９,X９,１１,X１１,１２,X１２,８,X８,１３,X１３,１４,X１４,１},對應(yīng)線路為:三中鶴問湖校區(qū)→快樂城→冷凍廠→向陽閘→財校→九江一中→二中→國棉三廠→荷花垅→汽車總站→中茂鉑宮→長虹小區(qū)→三中鶴問湖校區(qū)

５反思評價(對設(shè)計線路的優(yōu)化)

從滿意角度出發(fā),問卷系統(tǒng)應(yīng)更貼合民眾．在公交車上及各個站點投放問卷更為合理．這樣可以直接面向乘車群眾,獲得的民意站點更科學(xué)和普適．同時可調(diào)整問卷問題,如通過設(shè)置問題獲得人們對現(xiàn)有的從１地去往２地的公交車設(shè)置的滿意程度．若不太滿意,考慮減小該邊權(quán)．要采取種種措施增加人民對該線路的滿意度,這些措施就尤為重要．從權(quán)方面,各邊權(quán)的影響參數(shù)不應(yīng)局限于距離,要擴展到道路承載能力,經(jīng)濟效應(yīng),人口密度分布,與其他公交車線路擬合度等等,這些都可以成為獨立的建模體系．同時也都需要在實地考察的基礎(chǔ)上合理賦權(quán)．此外,各因素權(quán)重各不相同,求和時應(yīng)乘以相應(yīng)系數(shù)．權(quán)區(qū)間的選取也是十分必要的．這樣更符合社會價值．進行演算時,我們可能會發(fā)現(xiàn):當(dāng)某一條邊相對距離過長,連接意義不大,而其他因素權(quán)較小,使該邊權(quán)求和后總權(quán)較小了,反而可能會解出x＝１．對此,可以在賦權(quán)的時候,對在某個因素下毫無意義的邊,權(quán)取為無窮大,這樣可以巧妙解決問題．

６研究的切身感受

發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更難,也更有意義．只有發(fā)現(xiàn)在有價值的問題的基礎(chǔ)上,解決問題的辦法才體現(xiàn)出寶貴．盡管數(shù)學(xué)建模的整體過程很有難度與深度,但是這對于社會的發(fā)展是必不可少的．社會真正的快速發(fā)展要靠數(shù)學(xué)建模的多領(lǐng)域滲透．?dāng)?shù)學(xué)建模在時代的發(fā)展中就顯得尤為重要．

參考文獻

[１]司守奎,孫璽菁．?dāng)?shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用[M]．北京:國防工業(yè)出版社,２０２１:２０-２１．

作者：李雨軒 單位：九江市第三中學(xué)